《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

21. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90°$,延长AC至点E,过点E作$EF\perp AC$,使$EF = BC$,连接BF交CE于点D.
(1)求证:$CD = ED$.
(2)若点G是AC上一点,满足$AG = 2CD$,连接FG,请你判断$\angle FGE$和$\angle ABC$的关系,并证明你的结论.

答案： 21.解：
(1)证明：
∵EF⊥AC,
∴∠E=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°，
∴∠E=∠DCB=90°.(3分)
在△DEF和△DCB中，$\begin{cases} ∠E=∠DCB, \\ ∠EDF=∠CDB, \\ EF=BC, \end{cases}$
∴△DEF≌△DCB(AAS)，
∴DE=DC.(5分)
(2)∠FGE+∠ABC=90°.理由如下：(6分)
∵CD=DE,
∴CE=2DC.
∵AG=2DC,
∴AG=CE，
∴AG+CG=CE+CG，
∴AC=EG.(8分)
在△FEG和△BCA中，$\begin{cases} EF=BC, \\ ∠E=∠ACB, \\ EG=AC, \end{cases}$
∴△FEG≌△BCA(SAS)，(10分)
∴∠FGE=∠A.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠FGE+∠ABC=90°.(12分)