《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y_{1}=k_{1}x+6$的图象($k_{1}$是常数且$k_{1}\neq0$)分别与$x$轴和$y$轴交于点$B$和点$A$，一次函数$y_{2}=k_{2}x-6$的图象($k_{2}$是常数且$k_{2}\neq0$)分别与$x$轴和$y$轴交于点$E$和点$C$，直线$AB$与$CE$交于点$D(4,2)$。
(1)求$k_{1}$和$k_{2}$的值。
(2)不等式$k_{1}x+6\geq k_{2}x-6$的解集为x≤4；方程组$\begin{cases}k_{1}x-y_{1}+6=0,\\k_{2}x-y_{2}-6=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$。
(3)若点$P$是直线$AB$上一点，且$S_{\triangle BPE}=2S_{\triangle BDE}$，求点$P$的坐标。

答案： 21.解:
(1)将点D(4,2)分别代入一次函数y₁和一次函数y₂的表达式中，
　得$\begin{cases}2 = 4k₁ + 6 \\ 2 = 4k₂ - 6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = -1 \\ k₂ = 2 \end{cases}$(4分)
(2)由图象可知，一次函数y₁的图象在一次函数y₂的图象上方的部分，为不等式k₁x+6≥k₂x−6解集，y₁与y₂的交点为方程组$\begin{cases}k₁x - y₁ + 6 = 0 \\ k₂x - y₂ - 6 = 0 \end{cases}$的解.
∵一次函数y₁与y₂交于点D(4,2)，
∴不等式k₁x+6≥k₂x−6的解集为x≤4，方程组$\begin{cases}k₁x - y₁ + 6 = 0 \\ k₂x - y₂ - 6 = 0 \end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$，故答案为x≤4,$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$.(8分)
(3)由
(1)可知直线AB的表达式为y₁=−x+6，
　直线CD的表达式为y₂=2x−6.
　当y₁=0时,−x+6=0,解得x=6,
∴B(6,0),
∴OB=6.
　当y₂=0时,2x−6=0,解得x=3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
∴BE=OB−OE=6−3=3,
∴S△BDE=$\frac{1}{2}$BE·yD=$\frac{1}{2}$×3×2=3.(10分)
　设点P的坐标为(t,−t+6).
∵S△BPE=2S△BDE,
∴$\frac{1}{2}$BE·|yP|=$\frac{1}{2}$×3×|−t+6|=6,
　解得t=2或t=10.
　当t=2时,−t+6=4;当t=10时,−t+6=−4,
∴点P的坐标为(2,4)或(10,−4).(12分)