《2025年大联考单元期末测试卷八年级数学上册沪科版》

18. 如图,过点$ B ( 3, 0 ) $的一次函数$ y _ { 1 } = - x + b $的图象与正比例函数$ y _ { 2 } = k x $的图象相交于点$ C $,且点$ C $的纵坐标是2.
(1) 求一次函数与正比例函数的函数表达式.
(2) 当$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } ＞ 0 $时,根据图象,写出$ x $的取值范围.

答案： 18.解：
(1)将B(3,0)代入y₁=-x+b,得-3+b=0，所以b=3，所以一次函数的表达式为y₁=-x+3.(3分)当y=2时,x=1,所以点C的坐标为(1,2).将点C代入y₂=kx,得k=2，所以正比例函数的表达式为y₂=2x.(5分)
(2)由图象可知，当y₁＞y₂＞0时，x的取值范围是0＜x＜1.(8分)

19. 如图,直线$ l _ { 1 } : y = 2 x + 1 $与直线$ l _ { 2 } : y = - x + 4 $相交于点$ P ( 1, b ) $,直线$ l _ { 1 } $与$ l _ { 2 } $与$ x $轴分别交于$ A $,$ B $两点.
(1) 求$ b $的值,并结合图象求关于$ x $,$ y $的方程组$ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = - 1 }, \\ { - x - y = - 4 } \end{array} \right. $的解.
(2) 求三角形$ A B P $的面积.
(3) 垂直于$ x $轴的直线$ x = a $与直线$ l _ { 1 } $,$ l _ { 2 } $分别交于点$ C $,$ D $.若线段$ C D $的长为4,求$ a $的值.

答案： 19.解：
(1)由题意可得b=2×1+1=3,所以点P(1,3)，所以方程组$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$，即方程组$\begin{cases}2x-y=-1\\-x-y=-4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$.(3分)
(2)对于直线l₁:y=2x+1,令y=0,则2x+1=0，解得x=$-\frac{1}{2}$,所以点A($-\frac{1}{2}$,0).(4分)对于直线l₂:y=-x+4,令y=0,则-x+4=0，解得x=4,所以点B(4,0)，则AB=4-($-\frac{1}{2}$)=$\frac{9}{2}$,所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB×3=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$.(7分)
(3)由题意，得点C(a,2a+1),D(a,-a+4).因为CD=4,所以|2a+1-(-a+4)|=4，即|3a-3|=4,解得a=$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$.(10分)