《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 如图，一圆形纸片的圆心为 $ O $， $ F $ 是圆内一定点， $ M $ 是圆周上一动点，把纸片折叠使 $ M $ 与 $ F $ 重合，然后抹平纸片，折痕为 $ CD $. 设 $ CD $ 与 $ OM $ 交于点 $ P $，则点 $ P $ 的轨迹是 （ ）


A.椭圆
B.线段
C.抛物线
D.圆

答案： 1.A

2. (2023·全国甲卷) 设 $ F_1,F_2 $ 为椭圆 $ C:\dfrac{x^2}{5}+y^2 = 1 $ 的两个焦点，点 $ P $ 在 $ C $ 上. 若 $ \overrightarrow{PF_1}·\overrightarrow{PF_2} = 0 $，则 $ |PF_1|·|PF_2| = $ （ ）

A.1
B.2
C.4
D.5

答案： 2.B

例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是 $ (-4,0) $， $ (4,0) $，椭圆上一点 $ P $ 到两焦点距离之和等于 10；
(2) 两个焦点的坐标分别是 $ (0,-2) $， $ (0,2) $，并且椭圆经过点 $ \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right) $.

答案： 例2 解：
(1)设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$.
由题意得$c=4,a=5$，故$b=3$.
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
(2)设椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$.由题意得$c = 2$，所以$b^{2}=a^{2}-4$，所以椭圆方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}-4}=1$.将$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$代入方程，得$a=\sqrt{10}$，故椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{10}+\frac{x^{2}}{6}=1$.

1. 过点 $ (-3,2) $ 且与 $ \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 $ 有相同焦点的椭圆的标准方程为 （ ）

A.$ \dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{10}=1 $
B.$ \dfrac{x^2}{225}+\dfrac{y^2}{100}=1 $
C.$ \dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{15}=1 $
D.$ \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{225}=1 $

答案： 1.A

2. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点 $ \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right) $， $ (\sqrt{3},\sqrt{5}) $，则此椭圆的标准方程为____.

答案： 2.$\frac{y^{2}}{10}+\frac{x^{2}}{6}=1$

例 3 (1) 一个动圆与圆 $ Q_1:(x + 3)^2 + y^2 = 1 $ 外切，与圆 $ Q_2:(x - 3)^2 + y^2 = 81 $ 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
(2) 已知圆 $ C:x^2 + y^2 = 4 $，过圆 $ C $ 上一动点 $ M $ 作平行于 $ x $ 轴的直线 $ m $. 设直线 $ m $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ N $. 若向量 $ \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} $，试求动点 $ Q $ 的轨迹方程.

答案：
例3 解：
(1)由已知得两定圆的圆心和半径分别为$Q_{1}(-3,0),R_{1}=1;Q_{2}(3,0),R_{2}=9$.
设动圆圆心为$M(x,y)$，半径为$R$，如图.

由题意得$\left|MQ_{1}\right|=1+R,\left|MQ_{2}\right|=9-R$，
所以$\left|MQ_{1}\right|+\left|MQ_{2}\right|=10＞\left|Q_{1}Q_{2}\right|=6$.
由椭圆的定义知，点$M$在以$Q_{1},Q_{2}$为焦点的椭圆上，设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，则$a=5,c=3$，
所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=25 - 9=16$.
故动圆圆心的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$.
(2)设点$M$的坐标为$(x_{0},y_{0})(y_{0}\neq0)$，点$Q$的坐标为$(x,y)$，则点$N$的坐标为$(0,y_{0})$.因为$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，所以$(x,y)=(x_{0},2y_{0})$，即$x_{0}=x,y_{0}=\frac{y}{2}$.又因为点$M$在圆$C$上，所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$，所以$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=4$.由$y_{0}\neq0$，得$y\neq0$，
所以动点$Q$的轨迹方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1(y\neq0)$.