《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半. 这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A(2, 0)$，$B(0, 1)$，且 $AC = BC$，则 $\triangle ABC$ 的欧拉线的方程为（ ）

A.$2x + 4y - 3 = 0$
B.$x - 2y - 3 = 0$
C.$2x - y - 3 = 0$
D.$4x - 2y - 3 = 0$

答案： 1.D

2. 已知 $m$，$n$ 为实数，直线 $l_1$ 的方程为 $(m - 1)x + 2my - 8m = 0$，直线 $l_2$ 的方程为 $(2n - 1)x + 4ny - 4n = 0$，讨论直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的位置关系.

答案： 2.解：由题意，列方程组$\begin{cases}(m - 1)x + 2my = 8m,\$2n - 1)x + 4ny = 4n.\end{cases}$因为$4n(m - 1) - 2m(2n - 1) = 4mn - 4n - 4mn + 2m = 2(m - 2n)$，所以$m \neq 2n$时，$l_1$与$l_2$相交；当$m = 2n$时，有$\begin{cases}(2n - 1)x + 4ny = 16n,\$2n - 1)x + 4ny = 4n.\end{cases}$
①当$m = 2n = 0$时，$l_1$与$l_2$重合，
②当$m = 2n \neq 0$时，$l_1 // l_2$.

例 3 设直线 $l$ 的方程为 $(a + 1)x + y + 2 - a = 0$（$a \in \mathbf{R}$）.
（1）若 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程；
（2）若 $l$ 不经过第二象限，求实数 $a$ 的取值范围.
一题多思
思考. 在本例中若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $-3$，求实数 $a$ 的值.

答案： 例3 解：
(1)由题意可知，$a \neq - 1$.当直线$l$过原点时，其在$x$轴和$y$轴上的截距均为$0$，所以$2 - a = 0$，解得$a = 2$，此时直线$l$的方程为$3x + y = 0$；当直线$l$不过原点时，$a \neq 2$，
由$\frac{a - 2}{a + 1} = a - 2$，得$a = 0$，此时直线$l$的方程为$x + y + 2 = 0$.
综上，所求直线的方程为$3x + y = 0$或$x + y + 2 = 0$.
(2)将直线$l$的方程化为$y = - (a + 1)x + a - 2$，
要使$l$不经过第二象限，当且仅当$\begin{cases} - (a + 1) \geq 0, \\ a - 2 \leq 0. \end{cases}$解得$a \leq - 1$.
故实数$a$的取值范围为$(-\infty, - 1$.
一题多思
思考.解：由题易知$a \neq - 1$.由直线$l$的方程$(a + 1)x + y + 2 - a = 0$，得直线$l$在$x$轴上的截距为$\frac{a - 2}{a + 1}$，
即$\frac{a - 2}{a + 1} = - 3$，解得$a = - \frac{1}{4}$.