《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

2. 已知向量 $a$ 和 $b$ 的夹角为 $120^{\circ}$，且 $|a| = 2$，$|b| = 5$，则 $(2a - b)· a=$（ ）

A.$12$
B.$8+\sqrt{13}$
C.$4$
D.$13$

答案： 2.D

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 若 $a· b = 0$，则一定有 $a\perp b$ 吗？
(2) 若 $a· b＞0$，则 $\langle a,b\rangle$ 一定是锐角吗？
(3) $a· b = a· c\Rightarrow b = c$ 成立吗？

答案：
(1) 不一定。当 $ \boldsymbol{a} $ 或 $ \boldsymbol{b} $ 为零向量时，$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 $，但零向量与任意向量不垂直。
(2) 不一定。当 $ \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = 0 $ 时，$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| ＞ 0 $，但夹角为 $ 0 $ 不是锐角。
(3) 不成立。由 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} $ 得 $ \boldsymbol{a} · (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0 $，可能 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} $ 或 $ \boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) $，此时 $ \boldsymbol{b} $ 不一定等于 $ \boldsymbol{c} $。

1. 已知空间四边形 $ABCD$ 的每条边和对角线的长都等于 $a$，点 $E$，$F$ 分别是 $BC$，$AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}=$______.

答案： 1.$\frac{1}{4}\boldsymbol{a}^{2}$

2. 在正三棱锥 $P - ABC$ 中，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的中心，$PA = AB = 2$，则 $\overrightarrow{PO}·\overrightarrow{PA}=$______.

答案： 2.$\frac{8}{3}$

3. 如图，已知长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = AA_{1}=2$，$AD = 4$，$E$ 为 $AB_{1}$ 的中点，$F$ 为 $A_{1}D_{1}$ 的中点，试计算：
(1) $\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{ED_{1}}$；
(2) $\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{AB_{1}}$；
(3) $\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{FC_{1}}$.

答案： 3.
(1)16.
(2)0.
(3)2.

例 1 如图，在空间四边形 $OABC$ 中，已知 $\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC$，且 $OA = OB = OC$，$M$，$N$ 分别是 $OA$，$BC$ 的中点，$G$ 是 $MN$ 的中点. 求证：$OG\perp BC$.

答案： 例1 证明：连接$ON$(图略)，设$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC =\theta$，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|$。
又$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\right]$
$=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{OG}·\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})·(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})=\frac{1}{4}(|\boldsymbol{a}|^{2}·\cos\theta - |\boldsymbol{a}|^{2}·\cos\theta - |\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{a}|^{2})=0$。
所以$\overrightarrow{OG}\perp\overrightarrow{BC}$，即$OG\perp BC$。