《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点 两点间的距离
(1)平面内的两点 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 间的距离公式：$ |P_1P_2| = $ __________.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点 $ O(0,0) $ 与任一点 $ P(x,y) $ 间的距离 $ |OP| = $ __________.
②当 $ P_1P_2 // x $ 轴时，$ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 两点间的距离 $ |P_1P_2| = $ __________.
③当 $ P_1P_2 // y $ 轴时，$ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 两点间的距离 $ |P_1P_2| = $ __________.

答案：
(1)$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
(2)①$\sqrt{x^2 + y^2}$ ②$\vert x_2 - x_1\vert$ ③$\vert y_2 - y_1\vert$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1)点 $ P_1(0,a) $ 与 $ P_2(b,0) $ 之间的距离为 $ a - b $.（ ）
(2)当 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.（ ）
(3)平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.（ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√

2.（多选）对于 $ \sqrt{x^2 + 2x + 5} $，下列说法正确的是（ ）

A.可看作点 $ (x,0) $ 与点 $ (1,2) $ 间的距离
B.可看作点 $ (x,0) $ 与点 $ (-1,-2) $ 间的距离
C.可看作点 $ (x,0) $ 与点 $ (-1,2) $ 间的距离
D.可看作点 $ (x,-1) $ 与点 $ (-1,1) $ 间的距离

答案： 2.BCD

3. 请思考并回答下列问题：
(1)平面内两点间的距离公式与两点坐标顺序是否有关？
(2)式子 $ \sqrt{x^2 + y^2} $ 的几何意义是什么？

答案：
(1)设两点坐标为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，根据两点间距离公式，有$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$，若交换两点坐标顺序，得到$|BA| =\sqrt{(x_1 - x_2)^{2} + (y_1 - y_2)^{2}}$，由于$(x_2 - x_1)^{2}=(x_1 - x_2)^{2}$，$(y_2 - y_1)^{2}=(y_1 - y_2)^{2}$，所以$|AB| = |BA|$，即平面内两点间的距离公式与两点坐标顺序无关。
(2)式子$\sqrt{x^2 + y^2}$的几何意义是点$(x,y)$与原点$(0,0)$的距离。

1. 已知 $ \triangle ABC $ 的顶点为 $ A(7,8) $，$ B(10,4) $，$ C(2,-4) $，则边 $ BC $ 上的中线 $ AM $ 的长为（ ）

A.8
B.13
C.$ 2\sqrt{15} $
D.$ \sqrt{65} $

答案： 1.D

2. 已知线段 $ AB $ 的两个端点分别在 $ x $ 轴和 $ y $ 轴上，且线段 $ AB $ 的中点为 $ C(1,1) $，则 $ |AB| $ 等于（ ）

A.2
B.$ \sqrt{2} $
C.4
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 2.D