《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 求过点 $(1, -7)$ 且与圆 $x^2 + y^2 = 25$ 相切的直线的方程。

答案： 1.解：由题意易知切线的斜率存在.
设切线的斜率为$k$，则切线的方程为$y + 7 = k(x - 1)$，即$kx - y - k - 7 = 0$。
由圆心$(0,0)$到切线的距离等于圆的半径$5$，
所以$\frac{\vert -k - 7\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 5$，解得$k = \frac{4}{3}$或$k = -\frac{3}{4}$。
所以所求切线的方程为$y + 7 = \frac{4}{3}(x - 1)$或$y + 7 = -\frac{3}{4}(x - 1)$，
即$4x - 3y - 25 = 0$或$3x + 4y + 25 = 0$。

2. 已知圆 $C: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$，求满足下列条件的圆的切线的方程。
(1) 与直线 $l_1: x + y - 4 = 0$ 平行；
(2) 与直线 $l_2: x - 2y + 4 = 0$ 垂直；
(3) 切点为 $A(4, -1)$。

答案： 2.解：由题意得圆心为$C(1,-2)$，半径$r = \sqrt{10}$。
(1)设切线的方程为$x + y + b = 0(b \neq -4)$，
则$\frac{\vert 1 - 2 + b\vert}{\sqrt{2}} = \sqrt{10}$，得$b = 1 \pm 2\sqrt{5}$。
所以切线的方程为$x + y + 1 + 2\sqrt{5} = 0$或$x + y + 1 - 2\sqrt{5} = 0$。
(2)设切线的方程为$2x + y + m = 0$，
则$\frac{\vert 2 - 2 + m\vert}{\sqrt{5}} = \sqrt{10}$，得$m = \pm 5\sqrt{2}$，
所以切线的方程为$2x + y + 5\sqrt{2} = 0$或$2x + y - 5\sqrt{2} = 0$。
(3)因为$k_{AC} = \frac{-2 + 1}{1 - 4} = \frac{1}{3}$，
所以切点为$A(4,-1)$时，切线的斜率为$-3$，
所以切点为$A(4,-1)$时，切线的方程为$y + 1 = -3(x - 4)$，即$3x + y - 11 = 0$。

例3 过点 $(-4, 0)$ 作直线 $l$ 与圆 $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20 = 0$ 交于 $A$，$B$ 两点，如果 $|AB| = 8$，求直线 $l$ 的方程。

答案： 例3 解：将圆的方程配方得$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$，所以圆心为$(-1,2)$，半径$r = 5$，由圆的性质可得，圆心到直线$l$
的距离$d = \sqrt{r^{2} - (\frac{\vert AB\vert}{2})^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3$。
当$l$的斜率不存在时，$x = -4$满足题意；
当$l$的斜率存在时，设方程为$y = k(x + 4)$，即$kx - y + 4k = 0$。
由点到直线的距离公式得
$\frac{\vert -k - 2 + 4k\vert}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 3$，解得$k = -\frac{5}{12}$。
所以直线$l$的方程为$5x + 12y + 20 = 0$。
综上，直线$l$的方程为$x = -4$或$5x + 12y + 20 = 0$。