《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 若直线 $ y = kx + 2 $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1 $ 相切，则斜率 $ k $ 的值是 （ ）

A.$ \frac{\sqrt{6}}{3} $
B.$ -\frac{\sqrt{6}}{3} $
C.$ \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $
D.$ \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $

答案： 1.C

2. 直线 $ y = kx - k + 1(k\in\mathbf{R}) $ 与焦点在 $ x $ 轴上的椭圆 $ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1 $ 总有公共点，则 $ m $ 的取值范围是 ______。

答案： 2.$\left\frac{5}{4},5\right)$

1. 已知椭圆 $ 4x^2 + 5y^2 = 20 $ 的一个焦点为 $ F $，过点 $ F $ 且倾斜角为 $ 45^{\circ} $ 的直线 $ l $ 交椭圆于 $ A,B $ 两点，则弦长 $ |AB|=$_________$ $。
2. 已知椭圆 $ ax^2 + by^2 = 1 $ 与直线 $ x + y - 1 = 0 $ 相交于 $ A,B $ 两点，$ C $ 是 $ AB $ 的中点。若 $ |AB| = 2\sqrt{2} $，直线 $ OC $（$ O $ 为坐标原点）的斜率为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，求椭圆的方程。

答案： 1.$\frac{16\sqrt{5}}{9}$
2.解：设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，代入椭圆方程并作差得
$a(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+b(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0$。而
$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k_{AB}=-1$，$\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=k_{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合上式可得
$b=\sqrt{2}a$。
因为$|AB|=\sqrt{1 + k^{2}}|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{2}|x_{2}-x_{1}|=2\sqrt{2}$，所以$|x_{2}-x_{1}|=2$。
又由$\begin{cases}ax^{2}+by^{2}=1,\\x + y - 1 = 0,\end{cases}$
得$(a + b)x^{2}-2bx + b - 1 = 0$，$\Delta=4b^{2}-4(a + b)·(b - 1)＞0$，所以$x_{1}+x_{2}=\frac{2b}{a + b}$，$x_{1}x_{2}=\frac{b - 1}{a + b}$。
故$|x_{2}-x_{1}|^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(\frac{2b}{a + b})^{2}-4·\frac{b - 1}{a + b}=4$。
将$b=\sqrt{2}a$代入，得$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
所以椭圆的方程是$\frac{x^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}y^{2}}{3}=1$。

例1 过椭圆 $ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 $ 内一点 $ M(2,1) $ 作一条弦，使该弦被点 $ M $ 平分。
（1）求此弦所在直线的方程；
（2）求此弦的长。
一题多思
思考1. 已知椭圆的方程为 $ \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m＞0,n＞0,m\neq n) $，一条直线与椭圆相交于点 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(x_1\neq x_2) $，弦 $ AB $ 的中点为 $ M(x_0,y_0) $，你能求出 $ k_{AB}· k_{OM} $（$ O $ 为原点）的值吗？
思考2. 你还有其他方法求解本例（1）吗？

答案： 例1 解：
(1)易知直线的斜率存在，设所求直线方程为
$y - 1 = k(x - 2)$，与椭圆方程联立，消去$y$，得$(4k^{2} + 1)x^{2}-8(2k^{2} - k)x + 4(2k - 1)^{2}-16 = 0$，且$\Delta=64(2k^{2}-k)^{2}-4(4k^{2}+1)·[4(2k - 1)^{2}-16]＞0$。
设直线与椭圆的交点为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，
则$x_{1}$，$x_{2}$是方程的两个根，
于是有$x_{1}+x_{2}=\frac{8(2k^{2}-k)}{4k^{2}+1}$。
又因为$M$为$AB$的中点，
所以$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{4(2k^{2}-k)}{4k^{2}+1}=2$，解得$k =-\frac{1}{2}$，满足$\Delta＞0$。
故此弦所在直线的方程为$x + 2y - 4 = 0$。
(2)设此弦的两端点分别为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由
(1)知直线$AB$的方程为$x + 2y - 4 = 0$。
联立$\begin{cases}x + 2y - 4 = 0,\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1,\end{cases}$
得$x^{2}-4x = 0$，$\Delta=16＞0$。
所以$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=0$。
所以$|AB|=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=$
$\sqrt{1+(-\frac{1}{2})^{2}}×\sqrt{4^{2}-4×0}=2\sqrt{5}$。
故此弦的长为$2\sqrt{5}$。
[一题多思]
思考1.解：将$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$代入椭圆方程，得
$\begin{cases}\frac{x_{1}^{2}}{m}+\frac{y_{1}^{2}}{n}=1,\frac{x_{2}^{2}}{m}+\frac{y_{2}^{2}}{n}=1,\end{cases}$
两式作差并整理得$\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{m}+\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{n}=0$。
已知弦$AB$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，
$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$。
因为$x_{1}\neq x_{2}$，所以$\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}=-\frac{n}{m}$，即$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{n}{m}·\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}$。
$y_{0}=-\frac{n}{m}x_{0}$，所以$k_{AB}· k_{OM}=-\frac{n}{m}$。
思考2.解：设所求直线与椭圆的一个交点为$A(x,y)$，另一个交点为$B$，
由于弦$AB$的中点为$M(2,1)$，则$B(4 - x,2 - y)$。
因为$A$，$B$两点都在椭圆上，
所以$\begin{cases}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1①,\frac{(4 - x)^{2}}{16}+\frac{(2 - y)^{2}}{4}=1②,\end{cases}$
① - ②，化简得$x + 2y - 4 = 0$。
显然点$A$的坐标满足这个方程，代入验证可知点$B$的坐标也满足这个方程，而过点$A$，$B$的直线只有一条，故所求直线的方程为$x + 2y - 4 = 0$。