《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

任务 1 基底的判断
1. 以下四个命题中是真命题的是（ ）

A.空间中任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若 $\{a,b,c\}$ 为空间的一个基底，则 $a$，$b$，$c$ 都不是零向量
C.$\triangle ABC$ 为直角三角形的充要条件是 $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$
D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底

答案： 1.B

2. 已知 $\{e_1,e_2,e_3\}$ 是空间的一个基底，且 $\overrightarrow{OA}=e_1 + 2e_2 - e_3$，$\overrightarrow{OB}=-3e_1 + e_2 + 2e_3$，$\overrightarrow{OC}=e_1 + e_2 - e_3$. 试判断 $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$ 能否作为空间的一个基底.

答案： 2.解：假设$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$共面，
则存在实数$\lambda,\mu$使得$\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}$，
所以$\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}=\lambda(-3\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+2\boldsymbol{e}_{3})+\mu(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3})=(-3\lambda+\mu)\boldsymbol{e}_{1}+(\lambda+\mu)\boldsymbol{e}_{2}+(2\lambda-\mu)\boldsymbol{e}_{3}$.
因为$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$不共面，
所以$\begin{cases}-3\lambda+\mu=1,\\\lambda+\mu=2,\\2\lambda-\mu=-1,\end{cases}$此方程组无解，
所以$OA,OB,OC$不共面，
所以$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$可以作为空间的一个基底.

例 1 点 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面外一点，且 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$M$，$N$ 分别是 $PC$，$PD$ 上的点，且 $PM=\frac{2}{3}PC$，$PN = ND$，试求满足 $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AP}$ 的实数 $x$，$y$，$z$ 的值.
一题多思
思考 1. 用基底表示向量需要注意哪些问题？
思考 2. 把本例中的“$PM=\frac{2}{3}PC$，$PN = ND$”改为“$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{ND}$”，试用基底 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{NM}$.

答案： 例1 解：取$PC$的中点$E$，连接$NE$(图略)，则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EN}-\overrightarrow{EM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PE})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=$
$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$.
因为$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AP}$，
所以$x=\frac{2}{3},y=-\frac{1}{6},z=\frac{1}{6}$.
[一题多思]
思考1.提示：
(1)若基底确定，要充分利用向量运算的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律.
(2)若没给定基底，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
思考2.提示：$\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$.