《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

任务1 圆的一般方程的概念辨析
1. 若方程 $x^{2}+y^{2}+ax+2ay+\dfrac{5}{4}a^{2}+a-1 = 0$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A.$a ＜ 1$
B.$a ＞ 1$
C.$-2 ＜ a ＜ \dfrac{2}{3}$
D.$-2 ＜ a ＜ 0$

答案： 1.A

2. 已知 $a \in \mathbf{R}$，方程 $a^{2}x^{2}+(a + 2)y^{2}+4x+8y+5a = 0$ 表示圆，则圆心坐标为__________，半径为__________.

答案： 2.(-2,-4) 5

3. 判断下列方程分别表示什么图形.
（1）$x^{2}+y^{2}+2x+2y+2 = 0$；
（2）$x^{2}+y^{2}-2x+4y-6 = 0$；
（3）$x^{2}+y^{2}-2ax-b^{2} = 0$；
（4）$3x^{2}+3y^{2}-2x+4y-6 = 0$.

答案： 3.解：
(1)原方程等价于$(x + 1)^{2}+(y + 1)^{2}=0$，因此方程表示点$(-1,-1)$。
(2)原方程等价于$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=(\sqrt{11})^{2}$，因此方程表示圆心为$(1,-2)$，半径为$\sqrt{11}$的圆。
(3)因为$4a^{2}+4b^{2} \geq 0$，所以当$a = b = 0$时，方程表示原点；当$a,b$不全为$0$时，方程表示以$(a,0)$为圆心，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$为半径的圆。
(4)原方程等价于$x^{2}+y^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y - 2 = 0$，配方，得$\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2}+\left(y + \frac{2}{3}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{23}}{3}\right)^{2}$，因此方程表示圆心为$\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$，半径为$\frac{\sqrt{23}}{3}$的圆。

例1 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点为 $A(1,4)$，$B(-2,3)$，$C(4,-5)$，求 $\triangle ABC$ 的外接圆的方程、圆心坐标和半径.

答案： 例1 解：设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$。
因为点$A,B,C$在圆上，
$\begin{cases}1 + 16 + D + 4E + F = 0,\\4 + 9 - 2D + 3E + F = 0,\\16 + 25 + 4D - 5E + F = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}D = -2,\\E = 2,\\F = -23.\end{cases}$
所以$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 23 = 0$，
即$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$。
所以圆心坐标为$(1,-1)$，半径为$5$。

平面直角坐标系中的 $A(-1,5)$，$B(5,5)$，$C(6,-2)$，$D(-2,-1)$ 四个点能否在同一个圆上？

答案： 解：设过$A,B,C$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，
则$\begin{cases}D - 5E - F = 26,\\5D + 5E + F = -50,\\6D - 2E + F = -40.\end{cases}$
解得$\begin{cases}D = -4,\\E = -2,\\F = -20.\end{cases}$
所以过$A,B,C$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 20 = 0$。
将点$D(-2,-1)$的坐标代入上述方程，等号不成立，
故$A,B,C,D$四点不能在同一个圆上。