《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例 2 求证：不论 $ m $ 为何值，直线 $ (3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0 $ 都过一个定点，并求这个定点的坐标.
一题多思
思考 1. 求证：不论 $ m $ 为何值，直线 $ (3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0 $ 总经过第二象限.
思考 2. 已知点 $ A(1,0) $，$ B(0,-1) $，若直线 $ (3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0 $ 和线段 $ AB $ 有交点，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 例2 证明：令$m = 0$，得$x + y - 1 = 0$，①
令$m = 1$，得$4x - y + 2 = 0$。②
联立①②得$\begin{cases}x + y - 1 = 0, \\4x - y + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -\frac{1}{5}, \\y = \frac{6}{5}.\end{cases}$
把$x = -\frac{1}{5}$，$y = \frac{6}{5}$代入$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$，
得$(3m + 1) × (-\frac{1}{5}) - \frac{6}{5} × (2m - 1) + 3m - 1 = 0$。
所以直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$过定点$(-\frac{1}{5}, \frac{6}{5})$。
![img alt=图片2.3.1的“一题多思”部分]
[一题多思]
思考1.证明：由例2的解析，可知直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$恒过第二象限内的定点$(-\frac{1}{5}, \frac{6}{5})$，所以无论$m$为何值，直线总经过第二象限。
思考2.解：由例2的解析，可知直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$过定点$P(-\frac{1}{5}, \frac{6}{5})$。
由题可知，直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$的斜率存在，又$k_{AP} = -1$，$k_{BP} = -11$，所以$-11 \leq \frac{3m + 1}{2m - 1} \leq -1$，解得$0 \leq m \leq \frac{2}{5}$。故实数$m$的取值范围是$[0, \frac{2}{5}]$。

1. 已知直线 $ l:(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0(a \in \mathbf{R}) $，则直线 $ l $ 过定点（ ）
A.（0，0）
B.（0，1）
C.（-2，1）
D.（1，1）

答案： 1.D 

2. 若不论 $ m $ 取何实数，直线 $ l:mx + y - 1 + 2m = 0 $ 恒过一个定点，则该定点的坐标是____.

答案： 2.$(-2, 1)$