《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知 $ A(-1,4) $，$ B(5,-4) $ 两点，求以 $ AB $ 为直径的圆的标准方程，并判断 $ C(5,1) $，$ D(6,-3) $，$ E(-5,1) $ 三点与该圆的位置关系。

答案： 1.解：设圆心为$M(x_0,y_0)$，半径为$r$，由题意得$\begin{cases}x_0 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \\y_0 = \frac{4 - 4}{2} = 0, \end{cases}$所以圆心$M$的坐标为$(2,0)$.又$r = \sqrt{(2 - 5)^{2} + (0 + 4)^{2}} = 5$，所以圆的标准方程为$(x - 2)^{2} + y^{2} = 25$.因为$|MC|^{2} = (5 - 2)^{2} + (1 - 0)^{2} = 10 ＜ r^{2}$，所以点$C$在圆内.因为$|MD|^{2} = (6 - 2)^{2} + (-3 - 0)^{2} = 25 = r^{2}$，所以点$D$在圆上.因为$|ME|^{2} = (-5 - 2)^{2} + (1 - 0)^{2} = 50 ＞ r^{2}$，所以点$E$在圆外.

2. 已知圆 $ N $ 的标准方程为 $ (x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=a^{2}(a ＞ 0) $。
(1) 若点 $ M(6,9) $ 在圆上，求 $ a $ 的值；
(2) 若点 $ P(3,3) $ 与 $ Q(5,3) $ 有一点在圆内，另一点在圆外，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 2.解：
(1)因为点$M(6,9)$在圆上，所以$(6 - 5)^{2} + (9 - 6)^{2} = a^{2}$，即$a^{2} = 10$.又$a ＞ 0$，所以$a = \sqrt{10}$.
(2)由已知得圆心为$N(5,6)$.因为$|PN| = \sqrt{(3 - 5)^{2} + (3 - 6)^{2}} = \sqrt{13}$，$|QN| = \sqrt{(5 - 5)^{2} + (3 - 6)^{2}} = 3$，$|PN| ＞ |QN|$，所以点$P$在圆外，点$Q$在圆内.所以$a$的取值范围是$(3,\sqrt{13})$.

例 3 已知 $ x,y $ 满足 $ x^{2}+(y + 4)^{2}=4 $，求 $ \sqrt{(x + 1)^{2}+(y + 1)^{2}} $ 的最大值与最小值。

答案：
例3 解：设点$P(x,y)$是圆$x^{2} + (y + 4)^{2} = 4$上的任意一点，圆心为$C(0,-4)$，半径$r = 2$，因此$\sqrt{(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2}}$表示点$A(-1,-1)$与该圆上的点的距离.因为$|AC|^{2} = (-1)^{2} + (-1 + 4)^{2} = 10 ＞ 4$，所以点$A(-1,-1)$在圆外，如图所示. 又$|AC| = \sqrt{10}$，所以$\sqrt{(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2}}$的最大值为$|AC| + r = \sqrt{10} + 2$，最小值为$|AC| - r = \sqrt{10} - 2$.

1. 已知 $ A $ 为圆 $ C:(x - m)^{2}+(y - m - 1)^{2}=2 $ 上一点，点 $ B(3,0) $，当 $ m $ 变化时线段 $ AB $ 长度的最小值为______。

答案： 1.$\sqrt{2}$ 

2. 已知直线 $ l_{1}:mx - y - 3m + 1 = 0 $ 与直线 $ l_{2}:x + my - 3m - 1 = 0 $ 相交于点 $ P,m \in \mathbf{R} $，则点 $ P $ 到坐标原点 $ O $ 的距离的最小值为______。

答案： 2.$\sqrt{2}$