《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例 2 两条互相平行的直线分别过点 $ A(6,2) $ 和 $ B(-3,-1) $，并且各自绕着 $ A $，$ B $ 旋转，已知两条平行直线间的距离为 $ d $. 求：
（1）$ d $ 的取值范围；
（2）当 $ d $ 取最大值时，两条直线的方程.

答案：
例2 解：
(1)如图，显然有$0 ＜ d \leq \vert AB\vert$。

而$\vert AB\vert = \sqrt{(6 + 3)^{2} + (2 + 1)^{2}} = 3\sqrt{10}$。
故$d$的取值范围为$(0,3\sqrt{10}$。
(2)由
(1)中图可知，当$d$取最大值时，两平行直线与直线$AB$垂直。
而$k_{AB} = \frac{2 - (-1)}{6 - (-3)} = \frac{1}{3}$，
所以两条平行直线的斜率为$-3$。
故所求直线的方程为
$y - 2 = -3(x - 6)$和$y + 1 = -3(x + 3)$，
即$3x + y - 20 = 0$和$3x + y + 10 = 0$。

1. 已知两条平行直线 $ x + 2y + m = 0 $ 与 $ 2x - ny - 4 = 0 $ 间的距离是 $ \sqrt{5} $. 若 $ m ＞ 0 $，则 $ m + n = $ （ ）

A.0
B.-1
C.1
D.-2

答案： 1.B

2. 已知直线 $ l $ 过点 $ A(2,-3) $.
（1）若直线 $ l $ 在 $ y $ 轴上的截距为 3，求直线 $ l $ 的方程；
（2）若直线 $ l $ 与直线 $ 2x + y + b = 0(b ＜ 0) $ 平行，且两条平行直线间的距离为 $ \sqrt{5} $，求 $ b $.

答案： 2.解：
(1)由题意可知，直线$l$过点$A(2,-3)$和$(0,3)$，
所以直线$l$的斜率$k = \frac{-3 - 3}{2 - 0} = -3$，
所以所求直线$l$的方程为$y = -3x + 3$，即$3x + y - 3 = 0$。
(2)设直线$l$的方程为$2x + y + n = 0$，
则$4 - 3 + n = 0$，得$n = -1$，
即直线$l$的方程为$2x + y - 1 = 0$。
因为直线$l$与直线$2x + y + b = 0$间的距离为$\sqrt{5}$，
所以$\frac{\vert b + 1\vert}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，即$\vert b + 1\vert = 5$。
又$b ＜ 0$，所以$b = -6$。