《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点    椭圆的简单几何性质

答案：  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ $-a\leq x\leq a$,$-b\leq y\leq b$ $-b\leq x\leq b$,$-a\leq y\leq a$ $A_1(-a,0),A_2(a,0)$,$B_1(0,-b),B_2(0,b)$ $A_1(0,-a),A_2(0,a)$,$B_1(-b,0),B_2(b,0)$ $2b$ $2a$ $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ $F_1(0,-c),F_2(0,c)$ $2c=2\sqrt{a^2-b^2}$ 坐标轴 原点 $\frac{c}{a}$ 

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的长轴长是 $a$. （ ）
(2) 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 $10$，$8$，则椭圆的方程为 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. （ ）
(3) 设 $F$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的一个焦点，$M$ 为椭圆上任一点，则 $|MF|$ 的最大值为 $a + c$（$c$ 为椭圆的半焦距）. （ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√

2. 椭圆 $25x^2 + 9y^2 = 225$ 的长轴长、短轴长、离心率依次是 （ ）

A.$5$，$3$，$\frac{4}{5}$
B.$10$，$6$，$\frac{4}{5}$
C.$5$，$3$，$\frac{3}{5}$
D.$10$，$6$，$\frac{3}{5}$

答案： 2.B

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 椭圆的焦点一定在它的长轴上吗？
(2) 椭圆上到其中心的距离最小与最大的点分别是哪些？
(3) 椭圆上到焦点的距离最大与最小的点分别是哪些？距离的最大值与最小值分别是多少？

答案：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上。
根据椭圆的标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$（焦点在$x$轴）或$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$（焦点在$y$轴），其焦点坐标分别为$F_1(-c,0),F_2(c,0)$（焦点在$x$轴，$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$）或$F_1(0 - c),F_2(0,c)$（焦点在$y$轴，$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$），长轴分别为$x$轴上的$2a$段或$y$轴上的$2a$段，所以椭圆的焦点一定在它的长轴上。
(2)设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$，椭圆上任意一点$P(x,y)$到中心的距离$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
由$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$得$y^{2}=b^{2}(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}})$，则$d=\sqrt{x^{2}+b^{2}(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}})}=\sqrt{\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}+b^{2}}$，$x\in[-a,a]$。
当$x = 0$时，$d_{min}=b$，此时点为短轴端点$(0,\pm b)$；当$x=\pm a$时，$d_{max}=a$，此时点为长轴端点$(\pm a,0)$。
(3)设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$，$F_1,F_2$为两焦点，椭圆上任意一点$P(x,y)$，根据椭圆定义$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert = 2a$，设$\vert PF_1\vert=r$，则$\vert PF_2\vert = 2a - r$，$\vert PF_1\vert=a + ex$，$\vert PF_2\vert=a-ex$（$e=\frac{c}{a}$为离心率）。
因为$x\in[-a,a]$，当$x=-a$时，$\vert PF_1\vert_{min}=a - c$，$\vert PF_2\vert_{max}=a + c$；当$x = a$时，$\vert PF_1\vert_{max}=a + c$，$\vert PF_2\vert_{min}=a - c$。
所以椭圆上到焦点距离最小的点是靠近该焦点的长轴端点，距离最小值为$a - c$；到焦点距离最大的点是远离该焦点的长轴端点，距离最大值为$a + c$。