《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

2.在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-4)$，$\overrightarrow{AD}=(4,2,0)$，$\overrightarrow{AP}=(-1,2,-1)$，则直线$PA$与平面$ABCD$的位置关系是 ( )

A.平行
B.垂直
C.在平面内
D.相交但不垂直

答案： 2.B

例1 如图，正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的所有棱
长都为2，$D$为$CC_1$的中点.试证明：$AB_1 \perp$平
面$A_1BD$.

[一题多思]
思考1.在本例中，你还能用其他方法证明$AB_1 \perp$平面$A_1BD$吗？
思考2.在本例中，设$M$是$A_1B_1$的中点，在线段$CC_1$上是否存在一点$N$，使得$MN \perp$平面$A_1BD$？

答案：
例1　证明:如图，取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，平面$ABC \perp$平面$BCC_1B_1$，所以$AO \perp$平面$BCC_1B_1$.
取$B_1C_1$的中点$O_1$，连接$OO_1$，以O为原点，以OB,$OO_1$,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
　　　　　　　
则$B(1,0,0)$，$D(-1,1,0)$，$A_1(0,2,\sqrt{3})$，$A(0,0,\sqrt{3})$，$B_1(1,2,0)$，所以$\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BA_1}=(-1,2,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)$.
设平面$A_1BD$的法向量为$\mathbf{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\mathbf{n} \perp \overrightarrow{BA_1},\\\mathbf{n} \perp \overrightarrow{BD}.\end{cases}$即$\begin{cases}\mathbf{n} · \overrightarrow{BA_1}=-x + 2y + \sqrt{3}z = 0,\\\mathbf{n} · \overrightarrow{BD}=-2x + y = 0.\end{cases}$
令$x = 1$，得$\mathbf{n}=(1,2,-\sqrt{3})$为平面$A_1BD$的一个法向量.
又$\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})$，所以$\mathbf{n}=\overrightarrow{AB_1}$，即$AB_1 // \mathbf{n}$.
所以$AB_1 \perp$平面$A_1BD$.
　一题多思
思考1.证明:设$\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AA_1}=\mathbf{c}$，
由题意得$|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = 2$，$\mathbf{a} · \mathbf{b} = 2$，$\mathbf{a} · \mathbf{c} = 0$，$\mathbf{b} · \mathbf{c} = 0$，
则$\overrightarrow{AB_1}=\mathbf{a} + \mathbf{c}$，$\overrightarrow{A_1B}=\mathbf{a} - \mathbf{c}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\mathbf{c} - \mathbf{a} + \mathbf{b}$，
所以$\overrightarrow{AB_1} · \overrightarrow{A_1B}=(\mathbf{a} + \mathbf{c}) · (\mathbf{a} - \mathbf{c})=\mathbf{a}^2 - \mathbf{c}^2 = 0$，所以$AB_1 \perp A_1B$，即$AB_1 \perp A_1B$，
$\overrightarrow{AB_1} · \overrightarrow{BD}=(\mathbf{a} + \mathbf{c}) · (\frac{1}{2}\mathbf{c} - \mathbf{a} + \mathbf{b})=0 - 4 + 2 + 2 - 0 + 0 = 0$，
所以$\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{BD}$，即$AB_1 \perp BD$.
又$A_1B \cap BD = B$，所以$A_1B \perp$平面$A_1BD$.
思考2.解:假设存在点$N(-1,y_0,0)$，$0 \leq y_0 \leq 2$，由例1的解析可知$M(\frac{1}{2},2,\frac{\sqrt{3}}{2})$
所以$\overrightarrow{MN}=(-\frac{3}{2},y_0 - 2,-\frac{\sqrt{3}}{2})$
因为$MN \perp$平面$A_1BD$，
所以$\overrightarrow{MN} // \mathbf{n}$，即$-\frac{\frac{3}{2}}{1}=\frac{y_0 - 2}{2}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}$，$y_0 = -1$，不合题意.
所以在线段$CC_1$上不存在一点N，使得$MN \perp$平面$A_1BD$.