《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

求过点 $ (0,6) $ 且与圆 $ C:x^{2} + y^{2} + 10x + 10y = 0 $ 相切于原点的圆的标准方程.

答案： 解：将圆 C 的方程化为标准方程得(x + 5)² + (y + 5)² = 50，则圆心为(-5,-5)，所以经过此圆心和原点的直线方程为 x - y = 0。设所求圆的标准方程是(x - a)² + (y - b)² = r²(r ＞ 0)。$\begin{cases} (0 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2, \\ a = 3, \\ a - b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 3, \\ r = 3\sqrt{2}. \end{cases}$故所求圆的标准方程是(x - 3)² + (y - 3)² = 18。

例 3 已知圆 $ C_{1}:x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - 1 = 0 $ 和圆 $ C_{2}:x^{2} + y^{2} - 10x - 12y + 45 = 0 $.
（1）判断圆 $ C_{1} $ 和圆 $ C_{2} $ 的位置关系，并说明理由；
（2）求圆 $ C_{1} $ 和圆 $ C_{2} $ 的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

答案： 例3 解：
(1)圆 C₁ 和圆 C₂ 相交.理由如下：将圆 C₁ 和圆 C₂ 的一般方程化为标准方程，得圆 C₁：(x -1)² + (y - 3)² = 11，圆 C₂：(x - 5)² + (y - 6)² = 16，则圆心C₁(1,3)，半径 r₁ = √11，圆心 C₂(5,6)，半径 r₂ = 4。又两圆的圆心距 d = |C₁C₂|$ = √(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2 = 5，$r₁ + r₂ = √11 + 4，|r₁ - r₂| = 4 - √11，所以|r₁ - r₂| ＜ d ＜ r₁ + r₂，所以圆 C₁ 和圆 C₂ 相交.
(2)将圆 C₁ 和圆 C₂ 的方程相减，得 4x + 3y - 23 = 0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 4x + 3y - 23 = 0。因为圆心 C₂(5,6)到直线 4x + 3y - 23 = 0 的距离d = |20 + 18 - 23|/√16 + 9 = 3，所以公共弦长为 2√r₂² - d² = 2√16 - 9 = 2√7。

1. 若圆 $ x^{2} + y^{2} = 4 $ 与圆 $ x^{2} + y^{2} + 2ay - 6 = 0(a ＞ 0) $ 的公共弦的长为 $ 2\sqrt{3} $，则 $ a $ 的值为______.

答案： 1.1

2. 求过圆 $ x^{2} + y^{2} + 6x - 4 = 0 $ 与 $ x^{2} + y^{2} + 6y - 28 = 0 $ 的交点，且圆心在直线 $ x - y - 4 = 0 $ 上的圆的方程.

答案： 2.解：设所求圆的方程为 x² + y² + 6x - 4 + λ(x² + y² + 6y28) = 0，λ ≠ -1，整理得(1 + λ)x² + (1 + λ)y² + 6x +6λy - 4 - 28λ = 0，所以圆心为(-3/(1 + λ),-3λ/(1 + λ))。又因为圆心在直线 x - y - 4 = 0 上，所以-3/(1 + λ) - (-3λ)/(1 + λ) - 4 = 0，解得λ = -7，因此所求圆的方程为 x² + y² - x + 7y - 32 = 0。