《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点是 $A(-1, -1)$，$B(3, 1)$，$C(1, 6)$，直线 $l$ 平行于 $AB$，分别交 $AC$，$BC$ 于点 $E$，$F$，且 $\triangle CEF$ 的面积是 $\triangle ABC$ 的面积的 $\frac{1}{4}$.
（1）求点 $E$，$F$ 的坐标；
（2）求直线 $l$ 的方程.

答案： 1.解：
(1)设点$E(x_1,y_1)$，$F(x_2,y_2)$.
因为直线$EF // AB$，且$\triangle CEF$的面积是$\triangle ABC$的面积的$\frac{1}{4}$，所以$E$，$F$分别为边$AC$，$BC$的中点，
所以$E(0,\frac{5}{2})$，$F(2,\frac{7}{2})$.
(2)由
(1)知点$E(0,\frac{5}{2})$，$F(2,\frac{7}{2})$，
可得直线$l$的方程为$\frac{y - \frac{5}{2}}{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}} = \frac{x - 0}{2 - 0}$，即$x - 2y + 5 = 0$.

2. 直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $3$，分别求满足下列条件的直线 $l$ 的方程.
（1）过定点 $A(-3, 4)$；
（2）与直线 $6x + y - 3 = 0$ 垂直.

答案： 2.解：
(1)由条件可知直线$l$的斜率一定存在且不为$0$.
因为直线$l$过点$A(-3,4)$，
所以设直线$l$的方程为$y = k(x + 3) + 4(k \neq 0)$.
令$x = 0$，得$y = 3k + 4$；
令$y = 0$，得$x = - \frac{4}{k} - 3$.
所以$\frac{1}{2} - \frac{4}{k} - 3 · |3k + 4| = 3$.
所以$9k^2 + 30k + 16 = 0$或$9k^2 + 18k + 16 = 0$，
解得$k = - \frac{2}{3}$或$k = - \frac{8}{3}$.
所以直线$l$的方程为$2x + 3y - 6 = 0$或$8x + 3y + 12 = 0$.
(2)因为直线$l$与直线$6x + y - 3 = 0$垂直，
所以设直线$l$的方程为$x - 6y + m = 0$.
令$x = 0$，得$y = \frac{m}{6}$；
令$y = 0$，得$x = - m$.
所以$\frac{1}{2} - |m| · \frac{m}{6} = 3$，解得$m = \pm 6$.
所以直线$l$的方程为$x - 6y + 6 = 0$或$x - 6y - 6 = 0$.