《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 空间中点的向量表示
在空间中，我们取一定点 $ O $ 作为基点，那么空间中任意一点 $ P $ 就可以用向量 ______ 来表示. 我们把向量 ______ 称为点 $ P $ 的位置向量.

答案： $\overrightarrow{OP}$ $\overrightarrow{OP}$

知识点二 空间中直线的向量表示

取定空间中的任意一点 $ O $，可以得到点 $ P $ 在直线 $ AB $ 上的充要条件是存在实数 $ t $，使 $ \overrightarrow{OP} = $_________$ $.

答案： 方向向量 $\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$

知识点三 空间中平面的向量表示
（1）通过平面 $ \alpha $ 内的一个定点 $ O $ 和两个向量 $ \boldsymbol{a} $ 和 $ \boldsymbol{b} $ 来确定：

取定空间任意一点 $ O $，可以得到，空间一点 $ P $ 位于平面 $ ABC $ 内的充要条件是存在实数 $ x $，$ y $，使 ______.
（2）通过平面 $ \alpha $ 内的一个定点 $ A $ 和平面的法向量来确定：

答案：
(1)$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$ $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
(2)方向向量 $\{\boldsymbol{P}\mid\boldsymbol{a}·\overrightarrow{AP}=0\}$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）零向量不能作为直线的方向向量.（ ）
（2）若向量 $ \boldsymbol{v} $ 是直线 $ l $ 的方向向量，则 $ \lambda\boldsymbol{v} $（$ \lambda \neq 0 $）也是直线 $ l $ 的方向向量.（ ）
（3）直线 $ l $ 的方向向量都平行，且方向相同.（ ）
（4）平面 $ \alpha $ 的所有法向量都平行，且同向.（ ）
（5）若 $ \boldsymbol{n} $ 是平面 $ \alpha $ 的一个法向量，则 $ \lambda\boldsymbol{n} $（$ \lambda \in \mathbf{R} $）也是平面 $ \alpha $ 的一个法向量.（ ）
（6）向量 $ \boldsymbol{i} = (1,0,0) $ 是坐标平面 $ Oyz $ 的一个法向量.（ ）

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)×
(5)×
(6)√ 

2. 若 $ A(3,6,-5) $，$ B(5,10,1) $ 在直线 $ l $ 上，则直线 $ l $ 的一个方向向量为（ ）
A.$ (1,2,3) $
B.$ (1,3,2) $
C.$ (2,1,3) $
D.(3,2,1)

答案： @@2.A 

3. 请思考并回答下列问题：
（1）如何确定直线的方向向量？
（2）如何确定平面的法向量？

答案： 1. （1）
对于直线$l$：
若直线$l$的斜率$k$存在，直线的方向向量$\vec{v}=(1,k)$。
若直线$l$的一般式方程为$Ax + By+C = 0(B\neq0)$，则直线的斜率$k=-\frac{A}{B}$，方向向量$\vec{v}=(B,-A)$；若$B = 0$，$A\neq0$，直线垂直于$x$轴，方向向量$\vec{v}=(0,1)$。
若直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x = x_0+at\\y = y_0+bt\end{cases}$（$t$为参数），则直线的方向向量$\vec{v}=(a,b)$。
若直线$l$上有两点$P(x_1,y_1,z_1)$，$Q(x_2,y_2,z_2)$（空间直线），则直线的方向向量$\overrightarrow{PQ}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1,z_2 - z_1)$。
2. （2）
设平面$\alpha$内有两个不共线向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$。
设平面$\alpha$的法向量$\vec{n}=(x,y,z)$。
根据$\vec{n}·\vec{a}=0$且$\vec{n}·\vec{b}=0$，即$\begin{cases}x_1x + y_1y+z_1z = 0\\x_2x + y_2y+z_2z = 0\end{cases}$。
令$x$（或$y$，$z$）为一个非零常数（通常取$1$或$- 1$等简单值），解方程组求出$y$和$z$（或$x$和$z$，或$x$和$y$）的值，从而得到平面的法向量$\vec{n}$。例如：
若$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2, - 1,1)$，则$\begin{cases}x + 2y+3z = 0\\2x - y+z = 0\end{cases}$，由第二个方程$y = 2x + z$，代入第一个方程得$x+2(2x + z)+3z = 0$，即$x+4x+2z + 3z = 0$，$5x+5z = 0$，令$x = 1$，则$z=-1$，$y = 2×1+( - 1)=1$，所以法向量$\vec{n}=(1,1, - 1)$（法向量不唯一，与它平行的非零向量都是平面的法向量）。
综上，（1）可根据直线的不同表示形式（斜率、一般式、参数式、两点坐标）确定直线的方向向量；（2）通过平面内两个不共线向量与法向量的垂直关系（数量积为$0$）解方程组确定平面的法向量。