《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知圆 $ C_1:(x + 1)^2 + y^2 = 1 $ 和圆 $ C_2:(x - 1)^2 + y^2 = 9 $，求与圆 $ C_1 $ 外切且内切于圆 $ C_2 $ 的动圆圆心 $ M $ 的轨迹方程.

答案： 1.解：由题意可知，圆$C_{1}$的圆心为$C_{1}(-1,0)$，半径$r_{1}=1$，
圆$C_{2}$的圆心为$C_{2}(1,0)$，半径$r_{2}=3$.
设动圆的半径为$r$，
由题意得$\begin{cases}\left|MC_{1}\right|=r + 1\\\left|MC_{2}\right|=3 - r\end{cases}$，即$\left|MC_{1}\right|+\left|MC_{2}\right|=4＞\left|C_{1}C_{2}\right|=2$.
根据椭圆的定义可知，点$M$在以$C_{1},C_{2}$为焦点，4为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，
所以$a=2,c=1$，可得$b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$.
所以动圆圆心$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.

2. 已知 $ P $ 是椭圆 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $ 上的一动点， $ F_1 $， $ F_2 $ 是椭圆的左、右焦点，延长 $ F_1P $ 到点 $ Q $，使得 $ |PQ| = |PF_2| $，求动点 $ Q $ 的轨迹方程.

答案：
2.解：如图，由题意知$\left|PF_{1}\right|+\left|PF_{2}\right|=4$.

又$\left|PQ\right|=\left|PF_{2}\right|$，所以$\left|PF_{1}\right|+\left|PQ\right|=4$，
即$\left|QF_{1}\right|=4$.
所以动点$Q$的轨迹是以$F_{1}(-1,0)$为圆心，4为半径的圆.
由题意知，$F_{1}(-1,0)$，
所以动点$Q$的轨迹方程是$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$.