《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 直线外一点到直线的距离
如图，设$\overrightarrow{AP}=a$，直线$l$的单位方向向量为$u$，则向量$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(a· u)u$. 在$Rt\triangle APQ$中，由勾股定理，得$PQ=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - |\overrightarrow{AQ}|^2}=$______.

答案： $\sqrt{a^{2}-(a· u)^{2}}$

知识点二 平面外一点到平面的距离
如图，已知平面$\alpha$的法向量为$n$，$A$是平面$\alpha$内的定点，$P$是平面$\alpha$外一点. 过点$P$作平面$\alpha$的垂线$l$，交平面$\alpha$于点$Q$，则$n$是直线$l$的方向向量，且点$P$到平面$\alpha$的距离就是$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度. 因此$PQ=\left|\overrightarrow{AP}·\frac{n}{|n|}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{AP}· n}{|n|}\right|=$______.

答案： $\frac{|\overrightarrow{AP}· \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$

知识点三 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与______的联系，用空间向量表示问题中涉及的______、______、______，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过______，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的______结论.

答案： （1）空间向量　点　直线　平面（2）向量运算　（3）几何

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）平面$\alpha$外一点$A$到平面$\alpha$的距离，就是以点$A$为起点，以平面$\alpha$内一点$B$为终点的向量$\overrightarrow{AB}$的长度. （ ）
（2）若直线$l//$平面$\alpha$，则直线$l$到平面$\alpha$的距离就是直线$l$上的任一点到平面$\alpha$的距离. （ ）
（3）若平面$\alpha//$平面$\beta$，则两平面的距离可转化为平面$\alpha$内某条直线到平面$\beta$的距离，也可转化为平面$\alpha$内某点到平面$\beta$的距离. （ ）
（4）$l_1$与$l_2$为异面直线，在$l_1$上任取一点$P$，在$l_2$上任取一点$Q$，则$|\overrightarrow{PQ}|$的最小值就是$l_1$与$l_2$的距离. （ ）

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)√