《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 若点 $ A\left(-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right) $，$ B\left(\dfrac{1}{2},2,\dfrac{7}{2}\right) $ 在直线 $ l $ 上，则直线 $ l $ 的一个方向向量为( )

A.$ \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},1\right) $
B.$ \left(\dfrac{1}{3},1,\dfrac{2}{3}\right) $
C.$ \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},1\right) $
D.$ \left(1,\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right) $

答案： 1.A

2. 已知直线 $ l $ 的一个方向向量 $ \boldsymbol{m} = (2,-1,3) $，且直线 $ l $ 过 $ A(0,y,3) $ 和 $ B(-1,2,z) $ 两点，则 $ y - z = $( )

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ \dfrac{3}{2} $
D.$ 3 $

答案： 2.A

例 如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，已知 $ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，$ PA = AB = 3 $，底面 $ ABCD $ 为正方形. 试建立适当的空间直角坐标系，分别求下列平面的一个法向量.
（1）平面 $ ABCD $；
（2）平面 $ PAB $；
（3）平面 $ PBC $；
（4）平面 $ PCD $.

一题多思
思考1. 一个平面的法向量唯一吗？
思考2. 在本例中，若点 $ M $ 是线段 $ AD $ 上一点，平面 $ PBM $ 的一个法向量是 $ \boldsymbol{a} = (1,2,1) $，求线段 $ AM $ 的长.

答案：
例 解：如图所示，建立空间直角坐标系$Axyz$．

(1)因为$PA\perp$平面$ABCD$，所以平面$ABCD$的一个法向量为$(0,0,1)$．
(2)因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AD\subset$平面$ABCD$，所以$AD\perp PA$．
因为$AD\perp AB$，$PA$，$AB\subset$平面$PAB$，$PA\cap AB=A$，所以$AD\perp$平面$PAB$，
所以平面$PAB$的一个法向量为$(0,1,0)$．
(3)因为$B(3,0,0)$，$C(3,3,0)$，$P(0,0,3)$，
所以$\overrightarrow{PB}=(3,0,-3)$，$\overrightarrow{PC}=(3,3,-3)$．
设平面$PBC$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{PB}=0,\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{PC}=0,\end{cases}$所以$\begin{cases}3x - 3z = 0,\\3x + 3y - 3z = 0.\end{cases}$
取$x = 1$，则$y = 0$，$z = 1$，于是$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$为平面$PBC$的一个法向量．
(4)由
(3)同理可求得平面$PCD$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(0,1,1)$．
[一题多思]
思考1.提示：一个平面的法向量不唯一，有无数个，它们互相平行．
思考2.解：由本例的解析，设$M(0,y,0)$，$0\leq y\leq3$，则$\overrightarrow{PM}=(0,y,-3)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{PB}·\boldsymbol{a}=0,\\\overrightarrow{PM}·\boldsymbol{a}=0,\end{cases}$解得$y=\frac{3}{2}$，
所以线段$AM$的长为$\frac{3}{2}$．