《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 若 $ A(2, -3) $，$ B(4, 3) $，$ C(5, m) $ 三点在同一条直线上，则实数 $ m = $______。

答案： 1.6 

2. 经过 $ A(1, 5) $，$ B(3, 2) $ 两点的直线的一个方向向量为 $ (2, n) $，则实数 $ n = $______。

答案： 2.-3

例 2 过点 $ M(0, -3) $ 的直线 $ l $ 与以点 $ A(3, 0) $，$ B(-4, 1) $ 为端点的线段 $ AB $ 有公共点，求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。
一题多思
思考 1. 如何借助于正切函数的单调性理解直线的斜率随倾斜角的变化而变化？
思考 2. 本例中，把点 $ M $ 的坐标改为 $ (-5, -3) $，其余条件不变，求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。

答案：
例2 解：由题意与斜率公式可知，直线$AM$与$BM$的斜率分别为$k_{AM}=\frac{0 - (-3)}{3 - 0}=1$，$k_{BM}=\frac{1 - (-3)}{-4 - 0}=-1$。
如图所示，

直线$l$相当于绕点$M$在直线$AM$与$BM$间旋转.当$l$由$AM$位置旋转到$y$轴位置时，倾斜角增大到$90^{\circ}$，又$k_{AM}=1$，所以$k\geq1$；当$l$从$y$轴位置旋转到$BM$位置时，倾斜角大于$90^{\circ}$，又$k_{BM}=-1$，所以$k\leq -1$。
综上所述，直线$l$的斜率$k$的取值范围是$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
[一题多思]
思考1.提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大。
思考2.提示：$k$的取值范围是$[\frac{3}{8},4]$。

1. 已知点 $ A(-3, 4) $，$ B(3, 2) $，过 $ P(1, 0) $ 的直线 $ l $ 与线段 $ AB $ 有公共点。
（1）求直线 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围；
（2）求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。

答案： 1.
(1)$\alpha$的取值范围是$45^{\circ}\leq\alpha\leq135^{\circ}$。
(2)直线$l$的斜率$k$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。

2. 一条光线从点 $ A(-2, 3) $ 射入，交 $ x $ 轴于点 $ P $，经 $ x $ 轴反射后，通过点 $ B(5, 7) $，求点 $ P $ 的坐标。

答案：
2.解：设点$P(x,0)$。如图，由光的反射原理知，反射角等于入射角，可得$\beta=\alpha$。所以反射光线$PB$的倾斜角$\beta$与入射光线$PA$的倾斜角$(180^{\circ}-\alpha)$互补。因此$k_{AP}=-k_{BP}$，即$\frac{0 - 3}{x - (-2)}=-\frac{0 - 7}{x - 5}$，解得$x=\frac{1}{10}$，所以点$P$的坐标为$(\frac{1}{10},0)$。