《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 线线垂直
如图，设直线$l_1,l_2$的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2$，
则$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow\boldsymbol{u}_1 · \boldsymbol{u}_2 =$____.

答案： $\mathbf{u_1} \perp \mathbf{u_2}$ $\mathbf{0}$

知识点二 线面垂直
如图，设直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向
量为$\boldsymbol{n}$，则$l \perp \alpha \Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}$，使得
$\boldsymbol{u}=$____.

答案： $\mathbf{u} // \mathbf{n}$ $\lambda\mathbf{n}$

知识点三 面面垂直
如图，设平面$\alpha ,\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2$，则
$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow\boldsymbol{n}_1 · \boldsymbol{n}_2 =$____.

答案： $\mathbf{n_1} \perp \mathbf{n_2}$ $\mathbf{0}$

1.判断正误(正确的打“$\sqrt{}$”,错误的打“$×$”).
(1)同一个平面的法向量均为共线向量.
( )
(2)若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是平面$\alpha$内的向量，且$\boldsymbol{n} · \boldsymbol{a} = 0$，
$\boldsymbol{n} · \boldsymbol{b} = 0$，则$\boldsymbol{n}$可以作为平面$\alpha$的一个法向量.
( )
(3)若点$A,B$是平面$\alpha$内的任意两点，$\boldsymbol{n}$是
平面$\alpha$的法向量，则$\overrightarrow{AB} · \boldsymbol{n} = 0$. ( )

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)√

2.设直线$l$的一个方向向量$\boldsymbol{u} = (-2,2,t)$，平面$\alpha$的一个法向量$\boldsymbol{v} = (6,-6,12)$，若直线$l \perp$平面$\alpha$，则实数$t$等于 ( )

A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$

答案： 2.B

3.请思考并回答下列问题：
(1)若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
(2)怎样利用直线的方向向量与平面的法向量证明垂直关系.

答案：
(1)垂直。
(2)①线线垂直：若两条直线的方向向量数量积为0，则两直线垂直；②线面垂直：若直线的方向向量与平面的法向量共线，则直线垂直于平面；③面面垂直：若两个平面的法向量数量积为0，则两平面垂直。

任务1〉利用空间向量判断位置关系
1.若$\boldsymbol{d} = (4,2,3)$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n} =(-1,3,0)$是平面$\alpha$的法向量，则直线$l$与平
面$\alpha$的位置关系是 ( )

A.垂直
B.平行
C.直线$l$在平面$\alpha$内
D.相交但不垂直

答案： 1.D