《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 直线与直线平行
如图，设$\boldsymbol{u}_{1}$，$\boldsymbol{u}_{2}$分别是直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，则$l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{u}_{1}=$____.

答案： 知识点一 $\boldsymbol{u}_1 // \boldsymbol{u}_2 \quad \lambda\boldsymbol{u}_2$

知识点二 直线与平面平行
如图，设$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l//\alpha\Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow\boldsymbol{u}·\boldsymbol{n}=$____.

答案： 知识点二 $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n} \quad \boldsymbol{0}$

知识点三 平面与平面平行
如图，设$\boldsymbol{n}_{1}$，$\boldsymbol{n}_{2}$分别是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，则$\alpha//\beta\Leftrightarrow$____$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{n}_{1}=$____.

答案： 知识点三 $\boldsymbol{n}_1 // \boldsymbol{n}_2 \quad \lambda\boldsymbol{n}_2$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）直线的方向向量一定是单位向量.（ ）
（2）若直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{a}=(-1,2,1)$，平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(-1,-1,1)$，$l\not\subset\alpha$，则$l//\alpha$.（ ）
（3）若$\boldsymbol{n}_{1}$，$\boldsymbol{n}_{2}$分别是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，则$\boldsymbol{n}_{1}//\boldsymbol{n}_{2}\Leftrightarrow\alpha//\beta$.（ ）
（4）已知点$A(-1,0,1)$，$B(1,4,7)$在直线$l$上，若点$P$在直线$l$上，则$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$，$t\in\mathbf{R}$.（ ）

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)√

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2,3,5)$，$\boldsymbol{b}=(3,x,y)$分别是直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，若$l_{1}// l_{2}$，则（ ）

A.$x=\frac{9}{2}$，$y = 15$
B.$x = 3$，$y=\frac{15}{2}$
C.$x = 3$，$y = 15$
D.$x=\frac{9}{2}$，$y=\frac{15}{2}$

答案： 2.D

3. 请思考并回答下列问题：
（1）直线的方向向量（平面的法向量）是否唯一？
（2）证明直线与平面平行的关键是什么？

答案： （1）不唯一。直线的方向向量有无数个，它们都是共线向量；平面的法向量有无数个，它们都是共线向量。
（2）在平面内找到一条直线，使得这条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线，且已知直线上的一点不在该平面内。