《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

在空间直角坐标系$Oxyz$中，点$(2,3,2)$关于$Oxy$平面对称的点的坐标为（ ）

A.$(2,3,-2)$
B.$(-2,-3,-2)$
C.$(-2,-3,2)$
D.$(2,-3,-2)$

答案： A

例2如图，正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，$E$是$AB$的中点，$F$是$BB_1$的中点，$G$是$AB_1$的中点. 试建立适当的空间直角坐标系，并确定$E,F,G$三点的坐标及向量$\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FG}$的坐标.

一题多思
思考1. 如何求向量的坐标？
思考2. 本例的条件不变，求向量$\overrightarrow{A_1F}$的坐标.

答案：
例2解:如图，以$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$ 轴、$z$轴，建立空间直角坐标系$Dxyz$.
　　　　　　　
由于正方体的棱长为1，则$D(0,0,0)$,$E\left(1,\frac{1}{2},0\right)$,$F\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$,$G\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$,
所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$,$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{DF}=\left(0,-\frac{1}{2},0\right)$.
一题多思
思考1.提示:
(1)起点在原点的向量，点$A$的坐标和向量$\overrightarrow{OA}$的坐标形式完全相同，其中$O$为坐标原点;
(2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得.
思考2.提示:$\overrightarrow{A_1F}=\left(0,1,-\frac{1}{2}\right)$.

在四面体$OABC$中，$OA,OB,OC$两两互相垂直，$OA=OB=2$，$OC=1$，$E$是$AB$的中点. 试建立适当的空间直角坐标系，写出向量$\overrightarrow{AO},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CE}$的坐标.

答案：
解:建立如图所示的空间直角坐标系$Oxyz$，
　　　　　　
根据条件可得$A(2,0,0)$,$B(0,2,0)$,$C(0,0,1)$,$E(1,1,0)$,所以$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}=(-2,0,0)$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(0,-2,1)$,$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=(1,1,-1)$.