《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例 2 如图，正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，$P$为$DD_1$的中点，$O_1$，$O_2$，$O_3$分别是平面$A_1B_1C_1D_1$、平面$BB_1C_1C$、平面$ABCD$的中心。
(1) 求证：$B_1O_3\perp PA$；
(2) 求异面直线$PO_3$与$O_1O_2$所成角的余弦值；
(3) 求$PO_2$的长。

答案：
例2
(1)证明：以$D$为坐标原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$Dxyz$。

则$B_1(1,1,1),O_3(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),P(0,0,\frac{1}{2}),A(1,0,0)$，所以
$\overrightarrow{B_1O_3} = (-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\overrightarrow{PA} = (1,0,-\frac{1}{2})$，
所以$\overrightarrow{B_1O_3} · \overrightarrow{PA} = -\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$，
即$\overrightarrow{B_1O_3} \perp \overrightarrow{PA}$。所以$B_1O_3 \perp PA$。
(2)解：因为$O_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),O_2(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$，
所以$\overrightarrow{O_1O_2} = (0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。
又因为$\overrightarrow{PO_3} = (\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{PO_3},\overrightarrow{O_1O_2}\rangle = \frac{\overrightarrow{PO_3} · \overrightarrow{O_1O_2}}{|\overrightarrow{PO_3}||\overrightarrow{O_1O_2}|} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
所以异面直线$PO_3$与$O_1O_2$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
(3)解：因为$P(0,0,\frac{1}{2}),O_2(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$，
所以$|\overrightarrow{PO_2}| =$
$\sqrt{(\frac{1}{2} - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的底面$\triangle ABC$中，$CA = CB = 1$，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$AA_1 = 2$，$N$是$AA_1$的中点。
(1) 求$BN$的长；
(2) 求异面直线$BA_1$，$B_1C$所成角的余弦值。

答案：
(1)$BN$的长为$\sqrt{3}$。
(2)异面直线$BA_1,B_1C$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$。