《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点 直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的____，用坐标和方程表示问题中的____，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为____问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成____.

答案： 知识点 平面直角坐标系 几何要素 代数 几何结论

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）在解决直线和圆的实际问题时，所建的坐标系不同，得到的直线或圆的方程也可能不同. （ ）
（2）通过代数运算解决平面几何问题时，最后要将代数运算的结果“翻译”成几何结论. （ ）

答案： 1.
(1)√　
(2)√

2. 设村庄外围所在曲线可用方程$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$表示，村外一条小路所在直线可用方程$x - y + 2 = 0$表示，则村庄外围任一点到小路的最短距离为____.

答案： 2.$\frac{7\sqrt{2}}{2}$−2

3. 请思考并回答下列问题：
（1）解决平面几何问题时，如何建立平面直角坐标系？
（2）你认为解决直线与圆的实际应用问题的关键是什么？

答案： （1）①选已知定点或对称中心为原点；②选已知直线或对称轴为坐标轴；③使尽可能多的点在坐标轴上，减少坐标参数。
（2）①建立合适坐标系，转化为数学模型；②根据题意确定直线与圆的方程；③利用圆心到直线距离、半径关系或联立方程判别式分析位置关系；④结合实际意义求解并检验。

例1 已知一个圆弧形桥拱，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，求水面的宽度.

答案：
例1 解：如图，以圆弧形桥拱的顶点为坐标原点，以过圆弧形桥拱的顶点的水平直线为x轴，以过圆弧形桥拱的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系
　　　　　　　
设圆弧所在圆的圆心为C，水面对应弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，-2)．
设圆的半径为r，则C(0，-r)，即圆的方程为x²+(y+r)²=r²．
将点A的坐标代入上述方程，可得r=10，
所以圆的方程为x²+(y+10)²=100．
当水面下降1m后，水面对应弦的端点为A′，B′，
可设A′(x₀，-3)(x₀＞0)，代入x²+(y+10)²=100，
解得x₀ = $\sqrt{51}$，
所以此时水面的宽度|A′B′|=2$\sqrt{51}$m．