《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例 1 求两条平行直线 $ l_1:3x + 4y = 10 $ 与 $ l_2:x + 8y = 15 $ 间的距离.
[一题多思]
思考 1. 与直线 $ 3x + 4y = 10 $ 平行的直线的方程可以设为什么形式？
思考 2. 若直线 $ l $ 与本例中直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的距离相等，求直线 $ l $ 的方程.

答案： 例1 解：$l_{1}$的方程可化为$3x + 4y - 10 = 0$，
$l_{2}$的方程可化为$3x + 4y - \frac{15}{2} = 0$，
所以$l_{1}$与$l_{2}$间的距离$d = \frac{\vert -10 - (-\frac{15}{2})\vert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{\frac{5}{2}}{5} = \frac{1}{2}$。
[一题多思]
思考1.解：可设为$3x + 4y = m(m \neq 10)$。
思考2.解：设直线$l$的方程为$3x + 4y = m(m \neq 10$且$m \neq \frac{15}{2})$。由题意可得$\frac{\vert 10 - m\vert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{\vert \frac{15}{2} - m\vert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$，解得$m = \frac{35}{4}$，
则直线$l$的方程为$3x + 4y = \frac{35}{4}$，即$12x + 16y - 35 = 0$。

1. 两条平行直线 $ y = \frac{3}{2}x $ 与 $ 6x - 4y + 13 = 0 $ 间的距离为 （ ）

A.$ \sqrt{13} $
B.$ \frac{\sqrt{13}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{13}}{3} $
D.13

答案： 1.B

2. 求与两条平行直线 $ l_1:2x - 3y + 4 = 0 $ 和 $ l_2:2x - 3y - 2 = 0 $ 距离相等的直线 $ l $ 的方程.

答案： 2.所求直线$l$的方程为$2x - 3y + 1 = 0$。