《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

5. 请思考并回答下列问题：
（1）二面角与平面的夹角范围一样吗？
（2）平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
（3）直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？

答案： （1）不一样。二面角范围：[0,π]；平面的夹角范围：[0,π/2]。
（2）相等或互补。设两平面法向量夹角为θ，平面夹角为φ，则φ=θ或φ=π-θ，且φ∈[0,π/2]。
（3）互余或与余角互补。设直线方向向量与平面法向量夹角为θ，直线与平面所成角为φ，则φ=|π/2 -θ|，且φ∈[0,π/2]。

例1 如图，在三棱锥 $ P - ABC $ 中，$ PA \perp $ 平面 $ ABC $，$ AB \perp AC $，$ PA = AC = \frac{1}{2} AB $，$ N $ 为 $ AB $ 上一点，$ AB = 4AN $，$ M $，$ S $ 分别为 $ PB $，$ BC $ 的中点.
（1）求证：$ CM \perp SN $；
（2）求 $ SN $ 与平面 $ CMN $ 所成角的大小.
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一题多思
思考1. 我们知道求直线与平面所成角的公式为 $ \sin \theta = |\cos \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{n} \rangle| = \left| \frac{\boldsymbol{u} · \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{n}|} \right| = \frac{|\boldsymbol{u} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{n}|} $，为了更好地理解和记忆公式，你能用一句话来解释它吗？
思考2. 本例中，在线段 $ BC $ 上是否存在一点 $ E $，使 $ EN $ 与平面 $ CMN $ 所成角的正弦值为 $ \frac{1}{3} $？若存在，求出点 $ E $ 的位置；若不存在，说明理由.

答案：
例1　
(1)证明:设$PA = 1$，以$A$为原点，$AB$，$AC$，$AP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
　　　　　　　
则$P(0,0,1)$，$C(0,1,0)$，$B(2,0,0)$。
又$AB = 4AN$，$M$，$S$分别为$PB$，$BC$的中点，
所以$N(\frac{1}{2},0,0)$，$M(1,0,\frac{1}{2})$，$S(1,\frac{1}{2},0)$。
所以$\overrightarrow{CM}=(1,-1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{SN}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$，
所以$\overrightarrow{CM}·\overrightarrow{SN}=(1,-1,\frac{1}{2})·(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)=0$。
因此$CM\perp SN$。
(2)解:$\overrightarrow{NC}=(-\frac{1}{2},1,0)$。
设平面$CMN$的法向量为$\boldsymbol{a}=(x,y,z)$，
所以$\overrightarrow{CM}·\boldsymbol{a}=0$，$\overrightarrow{NC}·\boldsymbol{a}=0$，
则$\begin{cases}x - y+\frac{1}{2}z = 0\frac{1}{2}x + y = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x = 2y\\z = -2y\end{cases}$。
取$y = 1$，得$\boldsymbol{a}=(2,1,-2)$为平面$CMN$的一个法向量。
因为$\cos\langle\boldsymbol{a},\overrightarrow{SN}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\overrightarrow{SN}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\overrightarrow{SN}\vert}=\frac{-1 - \frac{1}{2}}{3×\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\langle\boldsymbol{a},\overrightarrow{SN}\rangle=\frac{3}{4}\pi$。
所以$SN$与平面$CMN$所成的角为$\frac{3}{4}\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$。
[一题多思]
思考1.提示:直线与平面所成的角的正弦值等于其方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值。
思考2.解:设$\overrightarrow{CE}=\lambda\overrightarrow{CB}=(2\lambda,-\lambda,0)(0\leqslant\lambda\leqslant1)$，
故$E(2\lambda,1 - \lambda,0)$，所以$\overrightarrow{NE}=(2\lambda-\frac{1}{2},1 - \lambda,0)$。
由例题解析可知，平面$CMN$的一个法向量为$\boldsymbol{a}=(2,1,-2)$，
所以$\sin\theta=\frac{\vert\overrightarrow{NE}·\boldsymbol{a}\vert}{\vert\overrightarrow{NE}\vert\vert\boldsymbol{a}\vert}=\frac{1}{3}$，解得$\lambda=\frac{1}{4}$。
所以存在点$E$，且满足$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$时，使得$EN$与平面$CMN$所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$。