《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.现有一种空间斜坐标系，它任意两条坐标轴的夹角均为$60^{\circ}$，我们将这种坐标系称为斜$60^{\circ}$坐标系.我们类比空间直角坐标系，定义空间斜$60^{\circ}$坐标系下向量的斜$60^{\circ}$坐标：$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$分别为空间斜$60^{\circ}$坐标系中三条坐标轴（$x$轴、$y$轴、$z$轴）正方向上的单位向量.若向量$\boldsymbol{n}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$，则$\boldsymbol{n}$与有序实数组$[x,y,z]$一一对应，称向量$\boldsymbol{n}$的斜$60^{\circ}$坐标为$[x,y,z]$，记作$\boldsymbol{n}=[x,y,z]$.
(1) 若$\boldsymbol{a}=[1,2,3]$，$\boldsymbol{b}=[-1,1,2]$，求$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的斜$60^{\circ}$坐标；
(2) 在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = AD = 2$，$AA_{1} = 3$，$\angle BAD = \angle BAA_{1} = \angle DAA_{1} = 60^{\circ}$，建立空间斜$60^{\circ}$坐标系如图所示.

① 若$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EB_{1}}$，求向量$\overrightarrow{ED_{1}}$的斜$60^{\circ}$坐标；
② 若$\overrightarrow{AM} = [3,t,0]$，且$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{AC_{1}}$，求$|\overrightarrow{AM}|$的值.

答案： 应用3　解:
(1)因为$\boldsymbol{a}=[1,2,3]$，$\boldsymbol{b}=[-1,1,2]$，
所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k})+(-\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k})=3\boldsymbol{j}+5\boldsymbol{k}=[0,3,5]$，
所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的斜$60^{\circ}$坐标为$[0,3,5]$。
(2)设$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$分别为与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA_{1}}$同方向的单位向量，则$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{i}$，$\overrightarrow{AD}=2\boldsymbol{j}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=3\boldsymbol{k}$。
①因为$BE=EB$，所以$E$为$BB_{1}$的中点，所以$\overrightarrow{ED_{1}}=\overrightarrow{AD_{1}}-\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}})-(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}})=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}=-2\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\frac{3}{2}\boldsymbol{k}=[-2,2,\frac{3}{2}]$。
②由题意得$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}=2\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，
由$\overrightarrow{AM}=[3,t,0]$，知$\overrightarrow{AM}=3\boldsymbol{i}+t\boldsymbol{j}$，
因为$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{AC_{1}}$，
所以$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{AC_{1}}=(2\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k})·(3\boldsymbol{i}+t\boldsymbol{j})=0$，
所以$6\boldsymbol{i}^{2}+2t\boldsymbol{j}^{2}+(6 + 2t)×\frac{1}{2}\boldsymbol{i}·\boldsymbol{j}+9\boldsymbol{k}·\boldsymbol{i}+3t\boldsymbol{k}·\boldsymbol{j}=0$，
所以$6+2t+(6 + 2t)×\frac{1}{2}+\frac{9}{2}+\frac{3t}{2}=0$，解得$t=-3$。
故$|\overrightarrow{AM}|=|3\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}|=\sqrt{(3\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j})^{2}}=3$。