《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

任务 1 圆的标准方程的有关概念
1. 圆 $ (x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}=5 $ 的圆心和半径分别是（ ）

A.$ (-2,3),\sqrt{5} $
B.$ (2,-3),\sqrt{5} $
C.$ (-2,3),5 $
D.$ (2,-3),5 $

答案： 1.A

2. 圆心为 $ (-2,3) $，半径为 $ 3 $ 的圆的标准方程为（ ）

A.$ (x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=9 $
B.$ (x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}=3 $
C.$ (x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}=9 $
D.$ (x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=3 $

答案： 2.C

3. 方程 $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $ 表示的图形是（ ）

A.两个半圆
B.两个圆
C.圆
D.半圆

答案： 3.D

例 1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1) 圆心为 $ (3,4) $ 且经过坐标原点；
(2) 圆心为 $ (1,1) $ 且与直线 $ x + y = 4 $ 相切；
(3) 过点 $ A(2,0) $，$ B(2,-2) $，且以 $ AB $ 为直径；
(4) 经过点 $ A(3,1) $，$ B(-1,3) $，且圆心在直线 $ 3x - y - 2 = 0 $ 上。

答案： 例1 解：
(1)设圆的半径为r，因为圆心为(3,4)，且圆经过坐标原点，所以$r = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2}} = 5，$所以圆的标准方程为$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25.(2)$设圆的半径为r，因为圆心为(1,1)且与直线x + y = 4相切，所以$r = \frac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}.$故所求圆的标准方程为$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2.(3)$设圆心为(a,b)，半径为r，由题意得$\begin{cases}a = \frac{2 + 2}{2} = 2, \\b = \frac{0 - 2}{2} = -1, \end{cases}$即圆心坐标为(2,-1).所以$r = \sqrt{(2 - 2)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = 1，$所以所求圆的标准方程为$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 1.(4)$设圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}，$依题意得$\begin{cases}(3 - a)^{2} + (1 - b)^{2} = r^{2}, \-1 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = r^{2}, \\3a - b - 2 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2, \\b = 4, \\r = \sqrt{10}. \end{cases}$故所求圆的标准方程是$(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 10.$

求圆心在直线 $ 2x - y - 3 = 0 $ 上，且过点 $ (5,2) $ 和点 $ (3,-2) $ 的圆的标准方程。

答案： 所求圆的标准方程是$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$.

例 2 判断 $ A(0,5) $，$ B(1,-2) $，$ C(-3,-4) $，$ D(-7,-2) $ 四点是否共圆。
[一题多思]
思考 1. 在本例中，还有什么方法可判断四点是否共圆？
思考 2. 在本例中，有什么方法求由 $ A,B,C $ 三点所确定的圆的方程？

答案： 例2 解：易知点$A,B,C$不共线，设$A,B,C$三点确定的圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}(r ＞ 0)$.把$A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)$的坐标代入，得$\begin{cases}(0 - a)^{2} + (5 - b)^{2} = r^{2}, \$1 - a)^{2} + (-2 - b)^{2} = r^{2}, \$-3 - a)^{2} + (-4 - b)^{2} = r^{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = -3, \\b = 1, \\r^{2} = 25. \end{cases}$所以$A,B,C$三点确定的圆的标准方程为$(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$.把$D(-7,-2)$的坐标代入上述圆的标准方程，等号成立，所以点$D$在该圆上.故$A,B,C,D$四点共圆.[一题多思]思考1.解：易知$\overrightarrow{AB} = (1,-7),\overrightarrow{AD} = (-7,-7),\overrightarrow{CB} = (4,2)$，$\overrightarrow{CD} = (-4,2)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle = \frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|} = \frac{3}{5}$，$\cos\langle\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}\rangle = \frac{\overrightarrow{CB} · \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CD}|} = -\frac{3}{5}$，所以$\angle BAD + \angle BCD = \pi$，所以$A,B,C,D$四点共圆.思考2.解：因为线段$AB$的中点为$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，且直线$AB$的斜率为$-7$，所以线段$AB$的垂直平分线的方程为$x - 7y + 10 = 0$.同理可得线段$BC$的垂直平分线的方程为$2x + y + 5 = 0$.由$\begin{cases}x - 7y + 10 = 0, \\2x + y + 5 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = -3, \\y = 1, \end{cases}$所以圆心坐标为$(-3,1)$，半径为$\sqrt{(-3 - 0)^{2} + (1 - 5)^{2}} = 5$，故所求的圆的方程为$(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$.