《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 空间向量的夹角
(1) 定义

如图，已知两个非零向量 $a$，$b$，在空间任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则 $\angle AOB$ 叫做向量 $a$，$b$ 的______，记作______.
(2) 夹角的范围
通常规定，______. 这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且 $\langle a,b\rangle =$______. 如果 $\langle a,b\rangle =\frac{\pi}{2}$，那么向量 $a$，$b$______，记作______.

答案：
(1)夹角 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$
(2)$0\leqslant\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\leqslant\pi$ $\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle$ 互相垂直 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$

知识点二 空间向量的数量积、运算律
(1) 定义
已知两个非零向量 $a$，$b$，则______叫做 $a$，$b$ 的数量积，记作 $a· b$. 即______. 其中，______称为向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量. 特别地，零向量与任意向量的数量积为 $0$.
(2) 线面角
如图，向量 $a$ 向平面 $\beta$ 投影，就是分别由向量 $a$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ 作平面 $\beta$ 的垂线，垂足分别为 $A'$，$B'$，得到向量 $\overrightarrow{A'B'}$，向量______称为向量 $a$ 在平面 $\beta$ 上的______. 这时，向量______的夹角就是向量 $a$ 所在直线与平面 $\beta$ 所成的角.

(3) 空间两个向量的数量积的性质

(4) 空间向量的数量积满足的运算律
① $(\lambda a)· b=$______，$\lambda\in R$；
② $a· b=$______（交换律）；
③ $(a + b)· c=$______（分配律）.

答案：
(1)$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|·\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$$|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$
(2)$\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ 投影向量 $\boldsymbol{a},\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$
(3)$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$ $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| -|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\rangle$
(4)①$\lambda(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})$ ②$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{a}$ ③$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 对于非零向量 $a$，$b$，$\langle a,b\rangle$ 与 $\langle a,-b\rangle$ 相等. （ ）
(2) 对于任意向量 $a$，$b$，$c$，都有 $(a· b)· c = a· (b· c)$. （ ）
(3) 若 $a· b = b· c$，且 $b\neq 0$，则 $a = c$. （ ）
(4) $(3a + 2b)· (3a - 2b)=9|a|^{2}-4|b|^{2}$. （ ）

答案： 1.
(1)$×$
(2)$×$
(3)$×$
(4)$\surd$