《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处，船速为10km/h，则这艘轮船能被海监船监测到的时间约为多少小时？

答案：
1.解：根据题意，以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系
　　　　　　　　
所以A(40,0)，B(0,30)，圆O：x²+y²=676，
所以直线AB的方程为$\frac{x}{40}$+$\frac{y}{30}$=1，
即3x + 4y - 120 = 0．
记从点N处开始被监测，到点M处监测结束，过点O作OO′⊥AB于点O′．
因为点O到直线AB的距离|OO′|=$\frac{|-120|}{\sqrt{3²+4²}}$=24(km)，
所以|MN|=2$\sqrt{|MO|²-|OO′|²}$=20(km)．
因为$\frac{20}{10}$=2(h)，
所以这艘轮船被海监船监测到的时间约为2h．

2. 从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$相切，求光线l所在直线的方程.

答案：
2.解：如图所示，设l与x轴交于点B(b,0)(b≠ - 3)，则k_{AB}=$\frac{-3}{b + 3}$．
根据光的反射定律，反射光线的斜率k_{反}=$\frac{3}{b + 3}$，
所以反射光线所在直线的方程为y=$\frac{3}{b + 3}$(x - b)，
即3x-(b + 3)y - 3b = 0．
设圆x²+y²-4x - 4y + 7 = 0的圆心为C，
将x²+y²-4x - 4y + 7 = 0化为(x - 2)²+(y - 2)²=1，
可知圆心为C(2,2)，半径为1，
所以$\frac{|6-(b + 3)×2-3b|}{\sqrt{9+(b + 3)²}}$=1，解得b₁=$-\frac{3}{4}$，b₂=1，
所以k_{AB}=$-\frac{4}{3}$或k_{AB}=$-\frac{3}{4}$．
所以光线l所在直线的方程为y - 3=$-\frac{4}{3}$(x + 3)或y - 3=$-\frac{3}{4}$(x + 3)，即4x + 3y + 3 = 0或3x + 4y - 3 = 0．
　　　　　　　

例2 已知点$(x,y)$在圆$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1$上.
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求$x + y$的最大值和最小值.
一题多思
思考1. 本例（2）还有其他解法吗？
思考2. 已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1$上的动点，求$\triangle OAM$面积的最小值.

答案： 例2 解：
(1)$\frac{y}{x}$可看作点(x,y)与原点连线的斜率，$\frac{y}{x}$的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
由题意知，圆心为(2,-3)，半径为1，设过原点的直线方程为y = kx．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|2k + 3|}{\sqrt{k²+1}}$=1，
解得k=-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或k=-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以$\frac{y}{x}$的最大值为-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最小值为-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
(2)设t = x + y，则y=-x + t，t可看作直线y=-x + t在y轴上的截距．
所以x + y的最大值和最小值就是直线y=-x + t与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线y=-x + t与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即$\frac{|2+(-3)-t|}{\sqrt{2}}$=1，解得t=$\sqrt{2}-1$或t=$-\sqrt{2}-1$．
所以x + y的最大值为$\sqrt{2}-1$，最小值为$-\sqrt{2}-1$．
[一题多思]
思考1.解：因为(x - 2)²+(y + 3)²=1，故可设x = 2+cosα，y=-3+sinα，α∈R．
所以x + y=-1+cosα+sinα=-1+$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$)．
故当sin(α+$\frac{π}{4}$) = 1时，x + y取得最大值-1+$\sqrt{2}$；
当sin(α+$\frac{π}{4}$)=-1时，x + y取得最小值-1-$\sqrt{2}$．
思考2.解：根据题意，得圆(x - 2)²+(y + 3)²=1的圆心为(2,-3)，半径r = 1．
因为O(0,0)，A(0,2)，所以OA所在的直线是y轴．
当点M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则点M到直线AO的距离的最小值为d = 2 - 1 = 1，
所以△OAM面积的最小值为S=$\frac{1}{2}$|OA|·d = 1．

1. （2023·全国乙卷）已知实数x，y满足$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$，则$x - y$的最大值是（ ）
A.$1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.4
C.$1 + 3\sqrt{2}$
D.7

答案： 1.C 

2. 著名数学家华罗庚曾说过，数无形时少直觉，形少数时难入微.事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)间的距离.结合上述观点，可得$f(y) = \sqrt{y^2 - 4y + 20} + \sqrt{y^2 - 2y + 10}$的最小值为（ ）
A.$2\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{2}$
C.8
D.6

答案： 2.B