《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 如图，在平行六面体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{AA'}=c$，$P$ 是 $CA'$ 的中点，$M$ 是 $CD'$ 的中点，$N$ 是 $C'D'$ 的中点，$Q$ 是 $CA'$ 上的点，且 $CQ:QA' = 4:1$，用基底 $\{a,b,c\}$ 表示以下向量：

(1)$\overrightarrow{AP}$；(2)$\overrightarrow{AM}$；(3)$\overrightarrow{AN}$；(4)$\overrightarrow{AQ}$.

答案： 1.
(1)$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.
(2)$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.
(3)$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.
(4)$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{5}\boldsymbol{a}+\frac{1}{5}\boldsymbol{b}+\frac{4}{5}\boldsymbol{c}$.

2. 已知四棱锥 $P - OABC$ 的底面为矩形，$PO\perp$ 平面 $OABC$. 设 $\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OC}=b$，$\overrightarrow{OP}=c$，$E$，$F$ 分别是 $PC$ 和 $PB$ 的中点.
(1)判断 $\{a,b,c\}$ 能否作为空间的一个基底；
(2)若 $\{a,b,c\}$ 可以作为空间的一个基底，用 $a$，$b$，$c$ 表示 $\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{EF}$.

答案： 2.
(1)$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$能构成空间的一个基底.
(2)$\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c},\overrightarrow{BE}=-\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c},\overrightarrow{AE}=-\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c},\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$.