《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

已知点 $ P(x,y) $ 在直线 $ x + y - 4 = 0 $ 上，$ O $ 为坐标原点，求 $ |OP| $ 的最小值并求出此时点 $ P $ 的坐标.

答案：
解：如图，$|OP|$的最小值即为点O到直线$x + y - 4 = 0$的距离。

由点到直线的距离公式，得$|OP|_{min} = \frac { | - 4 | } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = 2 \sqrt { 2 }$。
此时，直线OP的方程为$y = x$。
解方程组$\begin{cases} x + y - 4 = 0 ,\\ y = x . \end{cases}$得$\begin{cases} x = 2 ,\\ y = 2 .\end{cases}$
所以点P的坐标为$(2, 2)$。

例 2 若直线 $ l_1:y = kx + 4 $ 与直线 $ l_2 $ 关于点 $ M(1,2) $ 对称，当 $ l_2 $ 经过点 $ N(0,-1) $ 时，求点 $ M $ 到直线 $ l_2 $ 的距离.
一题多思
思考 1. 已知入射光线经过点 $ M(-3,4) $，被直线 $ l:x - y + 3 = 0 $ 反射，反射光线经过点 $ N(2,6) $，求反射光线所在直线的方程.
思考 2. 已知点 $ A(1,3) $，$ B(4,5) $，动点 $ M $ 在直线 $ y = x $ 上运动，求 $ |MA| + |MB| $ 的最小值.

答案：
例2 解：由题易得直线$l _ { 1 } : y = k x + 4$恒过定点$P(0, 4)$，且$P(0, 4)$关于点$M(1, 2)$的对称点为$(2, 0)$，所以点$(2, 0)$和$N(0, - 1)$都在直线$l _ { 2 }$上。
可得直线$l _ { 2 }$的方程为$\frac { y - 0 } { - 1 - 0 } = \frac { x - 2 } { 0 - 2 }$，即$x - 2 y - 2 = 0$，所以点M到直线$l _ { 2 }$的距离$d = \frac { | 1 - 4 - 2 | } { \sqrt { 1 + 2 ^ { 2 } } } = \sqrt { 5 }$。
[一题多思]
思考1.解：设点$M(-3, 4)$关于直线$l : x - y + 3 = 0$的对称点为$M'(a, b)$，则反射光线所在直线过点$M'$。
由$\begin{cases} \frac { b - 4 } { a - ( - 3 ) } = - 1 ,\\ \frac { - 3 + a } { 2 } - \frac { b + 4 } { 2 } + 3 = 0 , \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1 ,\\ b = 0 .\end{cases}$即$M'(1, 0)$。
又反射光线经过点$N(2, 6)$，所以反射光线所在直线的方程为$\frac { y - 0 } { 6 - 0 } = \frac { x - 1 } { 2 - 1 }$，即$6x - y - 6 = 0$。
思考2.解：设点$A(1, 3)$关于直线$y = x$的对称点为$A'(x, y)$，则$\begin{cases} \frac { y + 3 } { 2 } = \frac { x + 1 } { 2 } ,\\ \frac { y - 3 } { x - 1 } = - 1 , \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 3 ,\\ y = 1 .\end{cases}$即$A'(3, 1)$。
根据题意画出图象，如图，

连接$A'B$，则$|A'B|$即为$|MA| + |MB|$的最小值，$|A'B| = \sqrt { ( 3 - 4 ) ^ { 2 } + ( 1 - 5 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 7 }$。

1. 点 $ (1,2) $ 关于直线 $ x + y - 2 = 0 $ 的对称点是 ( )

A.$ (1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (0,-1) $
D.$ (2,1) $

答案： 1.B

2. 已知直线 $ l_1:y = \sqrt{2}x + 2 $，直线 $ l_2 $ 与 $ l_1 $ 关于直线 $ y = -x + 1 $ 对称，则直线 $ l_2 $ 的方程为 __________.

答案： 2.$x - \sqrt { 2 } y + \sqrt { 2 } + 1 = 0$