《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 椭圆的定义
我们把平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离的和等于____的点的轨迹叫做椭圆. 这____叫做椭圆的焦点，____间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为____.

答案： 常数(大于$\left|F_{1}F_{2}\right|$) 两个定点 两焦点 半焦距

知识点二 椭圆的标准方程

答案： $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$ $(0,-c),(0,c)$ $a^{2}-b^{2}$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 已知点 $ F_1(-1,0) $， $ F_2(1,0) $，动点 $ P $ 满足 $ |PF_1| + |PF_2| = 4 $，则点 $ P $ 的轨迹是椭圆. （ ）
(2) 已知点 $ F_1(-1,0) $， $ F_2(1,0) $，动点 $ P $ 满足 $ |PF_1| + |PF_2| = 2 $，则点 $ P $ 的轨迹是椭圆. （ ）
(3) 已知点 $ F_1(0,-1) $， $ F_2(0,1) $，动点 $ P $ 满足 $ |PF_1| + |PF_2| = 1 $，则点 $ P $ 的轨迹是椭圆. （ ）
(4) 椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. （ ）

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√

2. 已知椭圆 $ 4x^2 + ky^2 = 4 $ 的一个焦点坐标是 $ (0,1) $，则实数 $ k $ 的值是 （ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.B

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-4,0) $， $ B(4,0) $，若 $ |PA| + |PB| = 10 $，则点 $ P $ 的轨迹方程是什么？
(2) 两种椭圆： $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $ 和 $ \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1 $ $ (a ＞ b ＞ 0) $ 有什么相同点和不同点？
(3) 如何根据椭圆的标准方程判断焦点的位置？

答案：
(1) 由题意知，点$A(-4,0)$，$B(4,0)$，则$|AB|=8$，因为$|PA| + |PB| = 10 ＞ 8$，所以点$P$的轨迹是以$A$，$B$为焦点的椭圆。设椭圆方程为$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a ＞ b ＞ 0$），其中$2a = 10$，$2c = 8$，则$a = 5$，$c = 4$，$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$，所以点$P$的轨迹方程为$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$。
(2) 相同点：① 都是椭圆，且$a ＞ b ＞ 0$；② 离心率相同，$e = \dfrac{c}{a}$（$c = \sqrt{a^2 - b^2}$）；③ 长半轴长为$a$，短半轴长为$b$。不同点：① 焦点位置不同，$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的焦点在$x$轴上，$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$的焦点在$y$轴上；② 顶点坐标不同，$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的顶点为$(\pm a, 0)$，$(0, \pm b)$，$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$的顶点为$(0, \pm a)$，$(\pm b, 0)$。
(3) 看椭圆标准方程中$x^2$和$y^2$的分母大小，若$x^2$的分母大于$y^2$的分母，则焦点在$x$轴上；若$y^2$的分母大于$x^2$的分母，则焦点在$y$轴上。