《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

知识点一 点与椭圆的位置关系
点 P(x0​,y0​) 与椭圆 a2x2​+b2y2​=1(a＞b＞0) 的位置关系：
点 P 在椭圆上 ⇔ _________；
点 P 在椭圆内部 ⇔  _________；
点 P 在椭圆外部 ⇔  _________。

答案： $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}＜1$ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}＞1$

知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线 $ y = kx + m $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0) $ 的位置关系的判断方法：
联立 $\begin{cases}y = kx + m \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$ 消去 $ y $ 得到一个关于 $ x $ 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式 $ \Delta $ 的大小判断直线与椭圆的位置关系，具体见下表。

答案： $2＞1=0＜$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）。
（1）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，相交所得弦的长最大。 （ ）
（2）已知椭圆 $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0) $ 与点 $ P(b,0) $，过点 $ P $ 可作出该椭圆的一条切线。 （ ）
（3）直线 $ y = k(x - a) $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ 的位置关系是相交。 （ ）
（4）直线与椭圆的位置关系有相离、相切、相交三种。 （ ）

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)√
(4)√

2. 已知直线 $ l:x + y - 3 = 0 $，椭圆 $ \frac{x^2}{4}+y^2 = 1 $，则直线与椭圆的位置关系是 （ ）

A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切

答案： 2.A

3. 请思考并回答下列问题：
（1）直线 $ y = k(x - 1) $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{4}+y^2 = 1 $ 的位置关系如何？
（2）过原点的直线和椭圆相交，交点关于原点对称吗？

答案： （1）联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases}y = k(x - 1), \\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1.\end{cases}$
将 $y = k(x - 1)$ 代入 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$，得：
$\frac{x^{2}}{4} + k^{2}(x - 1)^{2} = 1$，
化简得：
$(1 + 4k^{2})x^{2} - 8k^{2}x + 4k^{2} - 4 = 0$，
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = 64k^{4} - 4(1 + 4k^{2})(4k^{2} - 4) = 16(3k^{2} + 1) ＞ 0$，
由于 $\Delta ＞ 0$，直线与椭圆相交。
（2）设过原点的直线与椭圆相交于两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$。
由于直线过原点，其方程可设为 $y = kx$。
联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases}y = kx, \\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1.\end{cases}$
将 $y = kx$ 代入 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$，得：
$\frac{x^{2}}{4} + k^{2}x^{2} = 1$，
化简得：
$x^{2} = \frac{4}{1 + 4k^{2}}$，
解得：
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{1 + 4k^{2}}}, \quad x_2 = -\frac{2}{\sqrt{1 + 4k^{2}}}$，
由于 $x_1 = -x_2$，且 $y_1 = kx_1$，$y_2 = kx_2$，则 $y_1 = -y_2$。
因此，交点关于原点对称。