《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

2. 已知直线$l$经过点$A(2,3,1)$，且向量$n=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$为$l$的一个单位方向向量，则点$P(4,3,2)$到$l$的距离为______.

答案： 2.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 请思考并回答下列问题：
（1）怎样利用向量方法求直线与直线的距离、直线到平面的距离、平面与平面的距离？
（2）已知平面$\alpha$的法向量为$n$，$A$是平面$\alpha$内的定点，$P$是平面$\alpha$外一点，$l$是过点$P$的平面$\alpha$的垂线，则点$P$到平面$\alpha$的距离与$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量有什么关系？

答案： （1）
直线与直线的距离：
若两直线平行，在其中一条直线上取一点$P$，求点$P$到另一条直线的距离，即两平行直线间的距离。设$\vec{n}$为与两直线都垂直的向量，$A$是另一条直线上一点，$\overrightarrow{AP}$为点$P$到点$A$的向量，则两平行直线间距离$d = \frac{|\overrightarrow{AP}·\vec{n}|}{|\vec{n}|}$；若两直线异面，可先找到两直线的公垂线，然后利用向量方法求公垂线长，设$\vec{n}$为公垂线方向向量，$\overrightarrow{M_1M_2}$为两直线上两点$M_1$，$M_2$构成的向量，则异面直线间距离$d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}·\vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
直线到平面的距离：
设直线$l$与平面$\alpha$，在直线$l$上取一点$P$，则直线$l$到平面$\alpha$的距离等于点$P$到平面$\alpha$的距离。设平面$\alpha$的法向量为$\vec{n}$，平面$\alpha$内一点$A$，$\overrightarrow{AP}$为点$P$到点$A$的向量，则直线到平面距离$d = \frac{|\overrightarrow{AP}·\vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
平面与平面的距离：
若两平面平行，在其中一平面内取一点$P$，则两平行平面间距离等于点$P$到另一平面的距离。设另一平面$\beta$的法向量为$\vec{n}$，平面$\beta$内一点$A$，$\overrightarrow{AP}$为点$P$到点$A$的向量，则两平行平面间距离$d=\frac{|\overrightarrow{AP}·\vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
（2）
设$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量为$\overrightarrow{AP_0}$，点$P$到平面$\alpha$的距离$d$等于$|\overrightarrow{AP_0}|$。

任务1 利用空间向量求点到直线的距离
1. 已知$A(0,0,2)$，$B(1,0,2)$，$C(0,2,0)$，则点$A$到直线$BC$的距离为（ ）

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 1.A

2. 已知$m=(1,\sqrt{2},-1)$为直线$l$的方向向量. 若点$P(-1,1,-1)$为直线$l$外一点，$A(4,1,-2)$为直线$l$上一点，则点$P$到直线$l$的距离为______.

答案： 2.$\sqrt{17}$

例1 如图，正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，$E$，$F$分别为棱$AA_1$，$BB_1$的中点，$M$为棱$A_1B_1$上的一点，且$A_1M = \lambda(0 ＜ \lambda ＜ 2)$. 设$N$为$ME$的中点，求点$N$到平面$D_1EF$的距离.

一题多思
思考1. 本例中的点$M$是棱$A_1B_1$上的动点，为什么求出的点$N$到平面$D_1EF$的距离为定值？
思考2. 在本例中，你还有什么方法求点$N$到平面$D_1EF$的距离？

答案： 例1　解:以$D$为原点，$DA,DC,DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则$M(2,\lambda,2),D_{1}(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1)$，
所以$\overrightarrow{ED_{1}}=(-2,0,1),\overrightarrow{EF}=(0,2,0),\overrightarrow{EM}=(0,\lambda,1)$.
设平面$D_{1}EF$的法向量为$\mathbf{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\mathbf{n}·\overrightarrow{ED_{1}}=-2x + z = 0,\\\mathbf{n}·\overrightarrow{EF}=2y = 0.\end{cases}$
取$x = 1$，得$\mathbf{n}=(1,0,2)$为平面$D_{1}EF$的一个法向量.
所以点$M$到平面$D_{1}EF$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{EM}·\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.因为$N$为$ME$的中点，所以点$N$到平面$D_{1}EF$的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
[一题多思]
思考1.解:因为$A_{1}B_{1}//$平面$D_{1}EF$，所以$A_{1}B_{1}$上任意一点到平面$D_{1}EF$的距离相等，且为定值.
又$N$为$ME$的中点，所以$N$到平面$D_{1}EF$的距离为定值.
思考2.解:由例1的解析，易知$N(2,\frac{\lambda}{2},\frac{3}{2}),\overrightarrow{EN}=(0,\frac{\lambda}{2},\frac{1}{2})$，
平面$D_{1}EF$的一个法向量为$\mathbf{n}=(1,0,2)$，所以点$N$到平面$D_{1}EF$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{EN}·\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.