《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例1 已知四边形$ABCD$为正方形，$P$是四边形$ABCD$所在平面外的一点，$P$在平面$ABCD$上的射影恰好是正方形$ABCD$的中心$O$，$Q$是$CD$的中点，求下列各式中$x,y$的值：
（1）$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{PQ} + x\overrightarrow{PC} + y\overrightarrow{PA}$；
（2）$\overrightarrow{PA} = x\overrightarrow{PO} + y\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PD}$。

答案： 例1
(1)$x = -\frac{1}{2},y = -\frac{1}{2}$.
(2)$x = 2,y = -2$.

例2 如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，设$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{c}$，$M,N,P$分别是$AA_1,BC,C_1D_1$的中点，试用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示以下各向量：
（1）$\overrightarrow{AP}$；（2）$\overrightarrow{A_1N}$；（3）$\overrightarrow{MP}$。

一题多思
思考1. 本例涉及线段的中点，若$\triangle ABC$的边$BC$的中点为$G$，如何用向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$表示向量$\overrightarrow{AG}$？
思考2. 若把本例中“$P$是$C_1D_1$的中点”改为“$P$在线段$C_1D_1$上，且$\frac{C_1P}{PD_1} = \frac{1}{2}$”，其他条件不变，如何表示$\overrightarrow{AP}$？

答案： 例2 解：
(1)因为$P$是$C_{1}D_{1}$的中点， 所以$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}=a + \overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=a + c+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=a+\frac{1}{2}b + c$.
(2)因为$N$是$BC$的中点， 所以$\overrightarrow{A_{1}N}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{A_{1}B}+\overrightarrow{BN}=-a + b+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-a + b+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-a + b+\frac{1}{2}c$.
(3)因为$M$是$AA_{1}$的中点， 所以$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}a+(a+\frac{1}{2}b + c)=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b + c$. [一题多思] 思考1.提示：$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. 思考2.提示：$\overrightarrow{AP}=a + c+\frac{2}{3}b$.

1. 如图，已知空间四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{CD} = 5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b} - 8\boldsymbol{c}$，对角线$AC,BD$的中点分别为$E,F$，则$\overrightarrow{EF} =$______(用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示)。

答案： 1.$3a + 3b - 5c$