《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例2 如图，已知矩形 $ABCD$ 所在的平面和矩形 $ADEF$ 所在的平面互相垂直，点 $M$，$N$ 分别在对角线 $BD$，$AE$ 上，且 $BM = \frac{1}{3}BD$，$AN = \frac{1}{3}AE$. 求证：向量 $\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DE}$ 共面.

答案： 例2 证明：因为点$M$在$BD$上，且$BM = \frac{1}{3}BD$，所以$\overrightarrow{MB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$。同理$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$。所以$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = (\frac{1}{3}\overrightarrow{DA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BA} + (\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DE}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$。又$CD$与$DE$不共线，根据向量共面的充要条件可知$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DE}$共面。

（多选）已知 $O$ 为空间任意一点，在下列条件中，使点 $M$，$A$，$B$，$C$ 一定共面的是（ ）

A.$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$
B.$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 0$
D.$\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0$

答案： AC