《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知椭圆 $ 4x^2 + 5y^2 = 20 $ 的一个焦点为 $ F $，过点 $ F $ 且倾斜角为 $ 45^{\circ} $ 的直线 $ l $ 交椭圆于 $ A,B $ 两点，则弦长 $ |AB|=$_________$ $。

答案： 1.$\frac{16\sqrt{5}}{9}$

2. 已知椭圆 $ ax^2 + by^2 = 1 $ 与直线 $ x + y - 1 = 0 $ 相交于 $ A,B $ 两点，$ C $ 是 $ AB $ 的中点。若 $ |AB| = 2\sqrt{2} $，直线 $ OC $（$ O $ 为坐标原点）的斜率为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，求椭圆的方程。

答案： 2.解：设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，代入椭圆方程并作差得
$a(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+b(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0$。而
$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k_{AB}=-1$，$\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=k_{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合上式可得
$b=\sqrt{2}a$。
因为$|AB|=\sqrt{1 + k^{2}}|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{2}|x_{2}-x_{1}|=2\sqrt{2}$，所以$|x_{2}-x_{1}|=2$。
又由$\begin{cases}ax^{2}+by^{2}=1,\\x + y - 1 = 0,\end{cases}$
得$(a + b)x^{2}-2bx + b - 1 = 0$，$\Delta=4b^{2}-4(a + b)·(b - 1)＞0$，所以$x_{1}+x_{2}=\frac{2b}{a + b}$，$x_{1}x_{2}=\frac{b - 1}{a + b}$。
故$|x_{2}-x_{1}|^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(\frac{2b}{a + b})^{2}-4·\frac{b - 1}{a + b}=4$。
将$b=\sqrt{2}a$代入，得$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
所以椭圆的方程是$\frac{x^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}y^{2}}{3}=1$。

例2 已知 $ F_1,F_2 $ 分别是椭圆 $ \frac{x^2}{4}+y^2 = 1 $ 的左、右焦点。设过定点 $ M(0,2) $ 的直线 $ l $ 与椭圆交于不同的两点 $ A,B $，且 $ \angle AOB $（$ O $ 为坐标原点）为锐角，求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。

答案： 例2 解：显然直线$x = 0$不满足题设条件，可设直线$l$的方程为$y = kx + 2$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$。
联立$\begin{cases}y = kx + 2,\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,\end{cases}$
消去$y$，整理得$(k^{2}+\frac{1}{4})x^{2}+4kx + 3 = 0$。
由$\Delta=(4k)^{2}-4(k^{2}+\frac{1}{4})×3=4k^{2}-3＞0$，得$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$或
$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{4k}{k^{2}+\frac{1}{4}}$，$x_{1}· x_{2}=\frac{3}{k^{2}+\frac{1}{4}}$。
又$0^{\circ}＜\angle AOB＜90^{\circ}$，所以$\cos\angle AOB＞0$，
所以$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}＞0$。
又$y_{1}y_{2}=(kx_{1}+2)(kx_{2}+2)=k^{2}x_{1}x_{2}+2k(x_{1}+x_{2})+4$
$=\frac{3k^{2}}{k^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-8k^{2}}{k^{2}+\frac{1}{4}}+4=\frac{-k^{2}+1}{k^{2}+\frac{1}{4}}+4＞0$，即$k^{2}＜4$，
所以$-2＜k＜2$。
故$-2＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜k＜2$。

中心在坐标原点，焦点在 $ x $ 轴上的椭圆离心率为 $ \frac{\sqrt{3}}{2} $，与直线 $ x + y - 1 = 0 $ 相交于 $ M,N $ 两点。若以 $ MN $ 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程。

答案： 解：设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，
因为$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$a^{2}=4b^{2}$，即$a = 2b$。
所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$。
与直线方程联立化简得$5x^{2}-8x + 4 - 4b^{2}=0$。
$\Delta=64 - 4×5(4 - 4b^{2})＞0$，解得$b^{2}＞\frac{1}{5}$。
设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，
则$x_{1}+x_{2}=\frac{8}{5}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{5}(4 - 4b^{2})$。
所以$y_{1}y_{2}=(1 - x_{1})(1 - x_{2})$
$=1-(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=\frac{1}{5}(1 - 4b^{2})$。
由题意可知$OM\perp ON$，所以$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$，即$\frac{1}{5}(4 - 4b^{2})+\frac{1}{5}(1 - 4b^{2})=0$，
解得$b^{2}=\frac{5}{8}＞\frac{1}{5}$，所以$a^{2}=\frac{5}{2}$。
所以椭圆的方程为$\frac{2}{5}x^{2}+\frac{8}{5}y^{2}=1$。