《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

例 1 判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出公共弦所在直线的方程.
（1）圆 $ (x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1 $ 和圆 $ (x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 16 $；
（2）圆 $ x^{2} + y^{2} + 6x - 7 = 0 $ 和圆 $ x^{2} + y^{2} + 6y - 27 = 0 $.

答案： 例1 解：
(1)根据题意得，两圆的圆心分别为(-2,2)，(2,5)，半径分别为 r₁ = 1，r₂ = 4，两圆的圆心距 d =√[2 - (-2)]² + (5 - 2)² = 5。因为 d = r₁ + r₂，所以两圆外切.
(2)将圆的一般方程化成标准方程，得(x + 3)² + y² = 16，x² + (y + 3)² = 36，故两圆的圆心分别为(-3,0)，(0，-3)，半径分别为 r₁ = 4，r₂ = 6，两圆的圆心距 d =√(0 + 3)² + (-3 - 0)² = 3√2。因为 6 - 4 ＜ 3√2 ＜ 6 + 4，即|r₁ - r₂| ＜ d ＜ r₁ + r₂，所以两圆相交.因为 x² + y² + 6x - 7 = 0 和 x² + y² + 6y - 27 = 0 两式相减得 3x - 3y + 10 = 0，所以公共弦所在直线的方程为 3x -3y + 10 = 0。

1. 已知两圆分别为圆 $ C_{1}:x^{2} + y^{2} = 81 $ 和圆 $ C_{2}:x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 9 = 0 $，这两圆的位置关系是（ ）

A.相离
B.相交
C.内切
D.外切

答案： 1.C

2. 若圆 $ C_{1}:x^{2} + y^{2} = 1 $ 与圆 $ C_{2}:x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + m = 0 $ 外切，则 $ m = $（ ）

A.21
B.19
C.9
D.-11

答案： 2.C

例 2 求与圆 $ C:x^{2} + y^{2} - 2x = 0 $ 外切，且与直线 $ l:x + \sqrt{3}y = 0 $ 相切于点 $ M(3,-\sqrt{3}) $ 的圆的方程.

答案： 例2 解：圆 C 的方程可化为(x - 1)² + y² = 1，圆心为C(1,0)，半径为 1.设所求圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²(r ＞ 0)，由题意可得$\begin{cases} \sqrt{(a - 1)^2 + b^2} = r + 1, \\ \frac{b + \sqrt{3}}{a - 3} × (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -1, \\ \frac{|a + \sqrt{3}b|}{2} = r, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 4, \\ b = 0, \\ r = 2. \end{cases}$或$\begin{cases} a = 0, \\ b = -4\sqrt{3}, \\ r = 6. \end{cases}$所以所求圆的标准方程为(x - 4)² + y² = 4 或$ x² + (y +4\sqrt{3})² = 36。$