《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

任务1 利用空间向量判断线线、线面平行
（1）设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$分别是直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，根据条件判断$l_{1}$，$l_{2}$的位置关系：
①$\boldsymbol{a}=(2,3,-1)$，$\boldsymbol{b}=(-6,-9,3)$；
②$\boldsymbol{a}=(5,0,2)$，$\boldsymbol{b}=(0,4,0)$.
（2）设$\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$分别是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，根据条件判断$\alpha$，$\beta$的位置关系：
①$\boldsymbol{u}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{v}=(3,2,-\frac{1}{2})$；
②$\boldsymbol{u}=(0,3,0)$，$\boldsymbol{v}=(0,-5,0)$.
（3）设$\boldsymbol{a}$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{u}$是平面$\alpha$的法向量，根据条件判断$l$，$\alpha$的位置关系：
①$\boldsymbol{a}=(-3,4,2)$，$\boldsymbol{u}=(2,2,-1)$；
②$\boldsymbol{a}=(0,-8,12)$，$\boldsymbol{u}=(0,2,-3)$.

答案： 任务1
解:
(1)①因为$\boldsymbol{a} = (2, 3, -1)$，$\boldsymbol{b} = (-6, -9, 3)$，所以$\boldsymbol{a} = -\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$。
所以$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$。所以$l_1 // l_2$。
②因为$\boldsymbol{a} = (5, 0, 2)$，$\boldsymbol{b} = (0, 4, 0)$，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0$。
所以$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$。所以$l_1 \perp l_2$。
(2)①因为$\boldsymbol{u} = (1, -1, 2)$，$\boldsymbol{v} = \left(3, 2, -\frac{1}{2}\right)$，所以$\boldsymbol{u} · \boldsymbol{v} = 0$，所以$\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{v}$。所以$\alpha \perp \beta$。
②因为$\boldsymbol{u} = (0, 3, 0)$，$\boldsymbol{v} = (0, -5, 0)$，所以$\boldsymbol{u} = -\frac{3}{5}\boldsymbol{v}$。
所以$\boldsymbol{u} // \boldsymbol{v}$。所以$\alpha // \beta$。
(3)①因为$\boldsymbol{u} = (2, 2, -1)$，$\boldsymbol{a} = (-3, 4, 2)$，$\boldsymbol{u} · \boldsymbol{a} = 0$，所以$\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{a}$。所以$l // \alpha$或$l \subset \alpha$。
②因为$\boldsymbol{u} = (0, 2, -3)$，$\boldsymbol{a} = (0, -8, 12)$，$\boldsymbol{u} = -\frac{1}{4}\boldsymbol{a}$，所以$\boldsymbol{u} // \boldsymbol{a}$。所以$l \perp \alpha$。

例1 如图，在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$底面$ABC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，点$D$，$E$，$N$分别为棱$PA$，$PC$，$BC$的中点，$M$是线段$AD$的中点，$PA = AC = 4$，$AB = 2$.试证明：$MN//$平面$BDE$.

[一题多思]
思考 在本例中，你还能用其他方法证明$MN//$平面$BDE$吗？

答案：
例1　证明:如图，以$A$为原点，$AB$，$AC$，$AP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系。
　　　　　　
依题意可得$A(0, 0, 0)$，$B(2, 0, 0)$，$C(0, 4, 0)$，$P(0, 0, 4)$，$D(0, 0, 2)$，$E(0, 2, 2)$，$M(0, 0, 1)$，$N(1, 2, 0)$。
所以$\overrightarrow{DE} = (0, 2, 0)$，$\overrightarrow{DB} = (2, 0, -2)$。
设$\boldsymbol{n} = (x, y, z)$为平面$BDE$的法向量，则$\begin{cases} \boldsymbol{n} · \overrightarrow{DE} = 0 \\ \boldsymbol{n} · \overrightarrow{DB} = 0 \end{cases}$，所以$\begin{cases} 2y = 0 \\ 2x - 2z = 0 \end{cases}$。
不妨取$z = 1$，可得$\boldsymbol{n} = (1, 0, 1)$为平面$BDE$的一个法向量。
又$\overrightarrow{MN} = (1, 2, -1)$，所以$\overrightarrow{MN} · \boldsymbol{n} = 0$。
因为$MN \not\subset$平面$BDE$，所以$MN //$平面$BDE$。
[一题多思]
思考　证明:因为$PA \perp$底面$ABC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，建立如图所示的空间直角坐标系。
　　　　　　
又$\overrightarrow{MN} = (1, 2, -1)$，设$\overrightarrow{MN} = \lambda\overrightarrow{DE} + \mu\overrightarrow{DB}$，即$(1, 2, -1) = \lambda(0, 2, 0) + \mu(2, 0, -2)$，解得$\lambda = 1$，$\mu = \frac{1}{2}$。
所以$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DE} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$，故$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$共面。
又因为$MN \not\subset$平面$BDE$，所以$MN //$平面$BDE$。