《2026年点金训练高中数学选择性必修第一册人教A版》

3. 请思考并回答下列问题：
（1）对于空间向量 $a$，$b$，$c$，若 $a // b$ 且 $b // c$，是否可以得到 $a // c$？
（2）怎样利用向量共线证明 $A$，$B$，$C$ 三点共线？
（3）空间中任意两个向量一定是共面向量吗？

答案： （1）
当 $b = \vec{0}$，对于任意向量 $a$，$c$，均有$a // b$ 且 $b // c$，但不一定有$a // c$；
当 $b\neq \vec{0}$，由$a // b$ 且 $b // c$，根据平行向量的传递性，可以得到$a // c$。
所以，不一定可以得到 $a // c$，只有当$b\neq \vec{0}$时，才能得到$a // c$。
（2）
设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，
若存在实数 $k$ 使得 $\vec{a} = k\vec{b}$，则 $A$，$B$，$C$ 三点共线。
（3）
根据共面向量的定义，任意两个空间向量都可以平移到一个平面上，使其成为共面向量。
所以空间中任意两个向量一定是共面向量。

例1 如图，已知四边形 $ABCD$ 是空间四边形，$E$，$H$ 分别是边 $AB$，$AD$ 的中点，$F$，$G$ 分别是边 $CB$，$CD$ 上的点，且 $\overrightarrow{CF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$. 求证：四边形 $EFGH$ 是梯形.

答案： 例1 证明：因为$E$，$H$分别是$AB$，$AD$的中点，所以$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}(\frac{3}{2}\overrightarrow{CG} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CF}) = \frac{3}{4}(\overrightarrow{CG} - \overrightarrow{CF}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{FG}$，所以$EH // FG$，且$|\overrightarrow{EH}| = \frac{3}{4}|\overrightarrow{FG}| \neq |\overrightarrow{FG}|$。又点$F$，$G$不在直线$EH$上，所以四边形$EFGH$是梯形。

已知非零向量 $a$，$b$，且 $\overrightarrow{AB} = a + 2b$，$\overrightarrow{BC} = -5a + 6b$，$\overrightarrow{CD} = 7a - 2b$，则 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点中，一定共线的三点是（ ）

A.$A$，$B$，$D$
B.$A$，$B$，$C$
C.$B$，$C$，$D$
D.$A$，$C$，$D$

答案： A