《2025年节节高大象出版社七年级数学上册华师大版》

19. (9分)我们规定：使得$a - b = 2ab$成立的一对数$a,b$为“有趣数对”，记为$(a,b)$.
(1)判断数对$(1,\frac{1}{3})$是否为“有趣数对”，并说明理由；
(2)若$(m,n)$是“有趣数对”，求代数式$8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^{2} - n) + 12m^{2}$的值.

答案： 19.
(1)因为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},2×1×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}，$
所以$1-\frac{1}{3}=2×1×\frac{1}{3}.$
所以数对$(1,\frac{1}{3})$是“有趣数对”.
(2)原式$=8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^{2}+4n+12m^{2}$
$=24mn-4m-16mn+16-12m^{2}+4n+12m^{2}$
=8mn-4m+4n+16.
因为(m,n)是“有趣数对”，
所以m-n=2mn.
所以原式=8mn-4(m-n)+16
=8mn-4×2mn+16=8mn-8mn+16=16.

20. (9分)定义：若$a + b = 2$，则称$a$与$b$是关于1的平衡数.
(1)3与-1是关于1的平衡数，$5 - x$与x-3是关于1的平衡数(用含$x$的代数式表示)；
(2)若$a = 2x^{2} - 3(x^{2} + x) + 4,b = 2x - [3x - (4x + x^{2}) + 2]$，判断$a$与$b$是不是关于1的平衡数，并说明理由.

答案： 20.
(1)-1 x-3 【解析】因为2-3=-1,所以3+(-1)=2.
所以3与-1是关于1的平衡数.
因为2-(5-x)=x-3,所以(5-x)+(x-3)=2.
所以5-x与x-3是关于1的平衡数.
(2)a与b是关于1的平衡数.理由如下：
因为$a+b=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4+2x-[3x-(4x+x^{2})+2]$
$=2x^{2}-3x^{2}-3x+4+2x-[3x-4x-x^{2}+2]$
$=2x^{2}-3x^{2}-3x+4+2x-3x+4x+x^{2}-2$
=2，
所以a与b是关于1的平衡数.