《2025年节节高大象出版社七年级数学上册华师大版》

23. (11分)在数学活动课上，老师和同学们开展了以“线段与角的共性”为主题的数学活动. 研究发现线段中点的概念与角平分线的概念类似，甚至它们在计算方法上也有类似之处，它们之间的题目可以互相转化，解法可以互相借鉴. 如图18①，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点.
(1)用数学的眼光观察：
①若AB = 6，AC = 2，则MN的长度为3.
②若AB = a，AC = b，则MN的长度为$\frac{1}{2}a$.
(2)用数学的语言表达：
“创新”小组的同学类比想到，如图18②，已知∠AOB = 80°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC，∠BOC的角平分线OM，ON.
①若∠AOC = 30°，则∠MON的度数为40°.
②若∠AOC = n°，则∠MON的度数为40°.
(3)用数学的思维分析：
“缜密”小组在“创新”小组的基础上提出，如图18③，若∠AOB = m°，在角的外部作射线OC，再分别作∠AOC，∠BOC的角平分线OM，ON. 若∠AOC = n°，则∠MON的度数为$\frac{1}{2}m°$.

答案： 23.
(1)①3　②$\frac{1}{2}a$ [解析]因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
所以MC=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC+BC)=$\frac{1}{2}$AB.
①因为AB=6，所以MN=$\frac{1}{2}$×6=3.
②因为AB=a，所以MN=$\frac{1}{2}$×a=$\frac{1}{2}a$.
(2)①40°　②40° [解析]因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC.
所以∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB.
①因为∠AOB=80°，所以∠MON=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
②因为∠AOB=80°，所以∠MON=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
(3)$\frac{1}{2}m°$ [解析]因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$AOC，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC.
所以∠MON=∠MOC−∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC−$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC−∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB.
因为∠AOB=m°，
所以∠MON=$\frac{1}{2}m°$.