《2025年节节高大象出版社七年级数学上册华师大版》

18. （12分）暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，活动内容如下：
活动一：购买一张$30$元优惠卡，每次仅需$5$元.
活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需$7$元.
若某学生暑假期间游泳$x$次：
（1）请用含$x$的代数式分别表示活动一、活动二所需的费用；
（2）小明计划暑假期间游泳$25$次，则他参与哪种优惠活动比较合算？

答案： 18.
(1)根据题意，得活动一所需的费用为(30+5x)元，活动二所需的费用为7x元.
(2)把x=25代入，得活动一所需的费用：30+5×25=30+125=155(元)，活动二所需的费用：7×25=175(元).
因为155＜175，所以他参与活动一比较合算.

19. (12分)请同学们阅读材料后解决问题.
【阅读理解】
题目：代数式$x^{2} + x + 3$的值为$7$，则代数式$2x^{2} + 2x - 3$的值为5.
小亮通过观察发现，$x^{2} + x + 3\rightarrow 2x^{2} + 2x - 3$，前后两个多项式中，含$x$的次数相同项的系数存在相同的倍数关系.
思考：只需求得$x^{2} + x$的值即可求得$2x^{2} + 2x$的值，进而解决问题.
于是他在做作业时采用了如下方法：
由题意，得$x^{2} + x + 3 = 7$，则有$x^{2} + x = 4$.
$2x^{2} + 2x - 3 = 2(x^{2} + x) - 3 = 2× 4 - 3 = 5$.
所以代数式$2x^{2} + 2x - 3 = 5$.
【方法学习】
这种方法叫整体代入法，是我们在整式求值时常用到的一种方法，即题目已知条件告诉我们的不是单个未知数的值，而是一个或者几个式子的值，让我们根据条件去求其他代数式的值. 这个时候，我们要将问题中的式子转化成含有已知式子的形式，然后整体将已知条件代入求值.
【方法运用】
(1)若代数式$x^{2} + 2x + 2$的值为$5$，求代数式$2x^{2} + 4x + 3$的值.
(2)若$x - 3y = 3$，求$3(x - 3y)^{3} - 8x + 24y - 7$的值.
【方法拓展】
(3)当$x = 1$时，代数式$ax^{3} + bx + 3$的值为$9$，求当$x = -1$时，代数式$ax^{3} + bx + 3$的值.
(4)若$2a^{2} - 3ab = 16$，$2ab - b^{2} = -12$，求代数式$2a^{2} - 5ab + b^{2}$的值.

答案： 19.
(1)因为$x^{2}+2x+2=5，$
所以$x^{2}+2x=3.$
所以$2x^{2}+4x+3=2(x^{2}+2x)+3=2×3+3=9.$
(2)因为x-3y=3，
所以$3(x-3y)^{3}-8x+24y-7$
$=3(x-3y)^{3}-8(x-3y)-7$
$=3×3^{3}-8×3-7$
=50.
(3)当x=1时，$ax^{3}+bx+3=a+b+3=9，$
所以a+b=6.
(4)因为$2a^{2}-3ab=16,2ab-b^{2}=-12，$
所以$2a^{2}-5ab+b^{2}=(2a^{2}-3ab)-(2ab-b^{2})=16-(-12)=28.$