《2025年节节高大象出版社七年级数学上册华师大版》

23. （10分）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等.若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如168的“友谊数”为“618”.若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32 = 132.
（1）若M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，试说明M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若有一个三位正整数N，它的三个数位上的数字之和为11，求N的“团结数”.

答案： 23.
(1)由题意,得M = 100a + 10b + c,M的“友谊数”为100b + 10a + c，
100a + 10b + c-(100b + 10a + c)
=100a + 10b + c - 100b - 10a - c
=90a - 90b
=15(6a - 6b).
因为a,b都是正整数，所以6a - 6b是整数.
所以15(6a - 6b)能被15整除.
即M与其“友谊数”的差能被15整除.
(2)设N的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z，
所以N的“团结数”为(10x + y)+(10x + z)+(10y + x)+(10y + z)+(10z + x)+(10z + y)
=10x + y + 10x + z + 10y + x + 10y + z + 10z + x + 10z + y
=22x + 22y + 22z
=22(x + y + z).
∵N的三个数位上的数字之和为11，所以x + y + z = 11.
所以22(x + y + z)=22×11 = 242.
所以N的“团结数”为242.