《2025年节节高大象出版社七年级数学上册华师大版》

23. (10 分)阅读下列材料，解决问题：

(1) 写出 135 所有的“衍生数”：13,15,31,35,51,53.
(2) 一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为 7，十位数字为 3，个位数字为 $a$，则用含 $a$ 的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为22a+220.
(3) 一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为 $a$，十位数字为 $b$，个位数字为 $c$，请说明它的所有“衍生数”的和能被 22 整除.

答案： 23.
(1)13,15,31,35,51,53
(2)22a+220 【解析】因为一个三位正整数的每个
数位上的数字均不为零且互不相等，且它的百位数
字为 7，十位数字为 3，个位数字为 a，
所以所有“衍生数”为 73、70+a、37、30+a、10a+7、10a
+3.
所以所有“衍生数”的和为 73+70+a+37+30+a+10a+
7+10a+3=22a+220.
(3)因为一个三位正整数的每个数位上的数字均不
为零且互不相等，假设它的百位数字为 a，十位数字
为 b，个位数字为 c，
所以所有“衍生数”为 10a+b、10a+c、10b+a、10b+c、
10c+a、10c+b.
所以所有“衍生数”的和为 10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+
10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c).
22(a+b+c)能被 22 整除，所以三位正整数所有“衍生
数”的和能被 22 整除.